2011-广东卷文-02 单-集合交与圆

本题导读

本题考查集合的交集，以及直线与圆的交点。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 已知集合 $A=\{(x,y)\mid x,y$ 为实数，且 $x^2+y^2=1\}$，$B=\{(x,y)\mid x,y$ 为实数，且 $x+y=1\}$，则 $A\cap B$ 的元素个数为 ()

A. $4$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：把”交集中元素的个数”化为”圆与直线的公共点个数”
2. 步骤2：联立解方程

✅【答案】

点击查看答案

C$2$ 个

✍【详细解析】

Abstract

$A\cap B$ 的元素是同时满足两条方程的点，即圆 $x^2+y^2=1$ 与直线 $x+y=1$ 的公共点。

由 $y=1-x$ 代入圆方程：$x^2+(1-x{)}^2=1$，展开 $2x^2-2x=0$，即 $2x(x-1)=0$，$x=0$ 或 $x=1$。

对应点 $(0,1)$ 与 $(1,0)$，均满足两方程，故 $A\cap B$ 有 $2$ 个元素，选 C。

几何验算：圆心 $(0,0)$ 到直线 $x+y-1=0$ 的距离 $\frac{1}{\sqrt{2}}<1$（半径），直线与圆相交于两点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点集语言与曲线的对应；联立方程求交点；直线与圆位置关系

核心方法：点集交元素个数 = 两曲线公共点个数，代数联立 + 几何距离双验算

避坑指南：$x=0$ 与 $x=1$ 是两个不同交点，判别式或因式分解后别把其中一根漏掉；用圆心距判断位置时，$\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$ 与 $1$ 的大小关系才是”相交”的依据，不必解出交点也可计数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合交点计数题与 2011-北京卷文-08、2012-江苏卷-12、2013-陕西卷文-08 同族。

结论推广：推广：$A=\{(x,y)\mid$ 曲线 $C_1\}$，$B=\{(x,y)\mid$ 曲线 $C_2\}$，则 $|A\cap B|$ 等于 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点个数——点集运算与曲线交点在这一翻译下完全等价。

方法推广：点集小题：先认出集合是曲线，几何法（位置关系）快而稳，代数法（联立）留作验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-08 单-面积与交点个数
• 2012-江苏卷-12 填-直线与圆的公共点
• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系