2011-安徽卷文-20 解-回归直线方程与预测

本题导读

本题考查线性回归方程，以及最小二乘法。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份	2002	2004	2006	2008	2010
需求量（万吨）	236	246	257	276	286

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 $\hat{y}=bx+a$；

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 $2012$ 年的粮食需求量.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：令 $u=x-2006$ 简化运算求 $b=\frac{\sum u(y-\bar{y})}{\sum u^2}$
2. 步骤2：再由 $\bar{y}=b\bar{x}+a$ 求 $a$
3. 步骤3：代入 $x=2012$ 预报

✅【答案】

点击查看答案

(1)$\hat{y}=6.5x-12778.8$

(2)预测该地 $2012$ 年的粮食需求量约为 $299.2$ 万吨

✍【详细解析】

Abstract

（1） 记年份为 $x$，需求量为 $y$。

$\bar{x}=\frac{2002+2004+2006+2008+2010}{5}=2006$，$\bar{y}=\frac{236+246+257+276+286}{5}=260.2$。

令 $u=x-2006$，五个 $u$ 值依次为 $-4$，$-2$，$0$，$2$，$4$，则

$\sum u^2=16+4+0+4+16=40$，

$\sum u(y-\bar{y})=(-4)(236-260.2)+(-2)(246-260.2)+0+2(276-260.2)+4(286-260.2)=96.8+28.4+0+31.6+103.2=260$。

故 $b=\frac{260}{40}=6.5$，$a=\bar{y}-b\bar{x}=260.2-6.5\times 2006=-12778.8$。

回归直线方程为 $\hat{y}=6.5x-12778.8=6.5(x-2006)+260.2$。

（2） 当 $x=2012$ 时，$\hat{y}=6.5\times (2012-2006)+260.2=6.5\times 6+260.2=299.2$。

所以预测该地 $2012$ 年的粮食需求量约为 $299.2$ 万吨。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：回归系数 $b=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$；$a=\bar{y}-b\bar{x}$；回归直线过样本中心；预报即代值

核心方法：年份数值大，令 $u=x-2006$ 平移化简运算，求出的 $b$ 不变，$a$ 也可由平移式直接写出

避坑指南：$b$ 的分子分母都是对同一组平移后的数据求和，分子 $260$ 别算漏中间的 $0$ 项；$a=-12778.8$ 数值很大是正常的（年份量纲大），预报时代入平移式 $6.5(x-2006)+260.2$ 更不易出错；预报值是估计值，答题要说”约为”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：回归方程与预报题与 2011-山东卷文-08、2011-广东卷文-13、2011-江西卷文-08 同族。

结论推广：推广：对 $x$ 作平移 $u=x-c$ 不改变斜率 $b$，只改写截距；预报公式相应变为 $\hat{y}=b(x-c)+\bar{y}$。年份型回归题一律先平移再算，可把四位数的乘积化成一位数运算。

方法推广：回归大题流程：算 $\bar{x}$，$\bar{y}$ $\to$ 列表算 $b$ $\to$ $a=\bar{y}-b\bar{x}$ $\to$ 写方程（带 $\hat{}$ 号）$\to$ 代值预报并解释。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-08 单-回归预报
• 2011-广东卷文-13 填-回归预测
• 2011-江西卷文-08 单-线性回归方程求法