2018-全国卷II理-18 解-线性回归

本题导读

本题考查线性回归方程的应用。核心在于代入求值法、图表分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 $y$（单位：亿元）的折线图.为了预测该地区 2018 年的投资额，建立了 $y$ 与时间变量 $t$ 的两个线性回归模型：

• 模型 ①：$\hat{y}=-30.4+13.5t$（基于 2000-2016 年数据，$t=1,2,\dots ,17$）
• 模型 ②：$\hat{y}=99+17.5t$（基于 2010-2016 年数据，$t=1,2,\dots ,7$）.

(1) 分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；

(2) 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（代入计算）：

• 确定 $t$ 值：模型 ① 以 2000 年为 $t=1$，则 2018 年对应的 $t=2018-2000+1=19$。
• 确定 $t$ 值：模型 ② 以 2010 年为 $t=1$，则 2018 年对应的 $t=2018-2010+1=9$。
• 将各自的 $t$ 代入对应方程计算 $\hat{y}$。

2. 第二问（可靠性评估）：

• 看趋势：观察折线图，2010 年是一个明显的“拐点”，之后增长斜率变大。模型 ① 包含了早期低增速的数据，会拉低斜率。
• 看残差：2010-2016 的点更贴合模型 ② 描述的直线。
• 看增量：2016 年实际投资额为 220 亿。模型 ① 的预测值增长过缓，不符合近几年的实际增长趋势。

✅【答案】

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(1) 模型①：$226.1$ 亿元；模型②：$256.5$ 亿元

(2) 模型②更可靠

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 利用模型 ①，2018 年对应的 $t=19$，预测值为： $\hat{y}=-30.4+13.5\times 19=-30.4+256.5=226.1\text{（亿元）}$ 利用模型 ②，2018 年对应的 $t=9$，预测值为： $\hat{y}=99+17.5\times 9=99+157.5=256.5\text{（亿元）}$

(2)解： 利用模型 ② 得到的预测值更可靠。 理由如下：

• 理由一（拟合程度）：从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据点并没有随机散布在一条直线上下，而是呈现明显的阶段性。2010 年后的增长斜率明显大于前期。模型 ② 仅利用了 2010 年后的数据，能更准确地捕捉近期的线性增长趋势。
• 理由二（预测逻辑）：环境基础设施投资往往受近期政策和经济环境影响更大。模型 ① 使用了较早的数据，受早期低投入的影响，回归系数（斜率）偏小，导致对未来预测过于保守。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. $t$ 值的对应关系：这是此类题目的易错点。务必看清模型建立时 $t=1$ 对应哪一年。
2. 分段拟合的思想：当数据出现结构性变化（如本题的 2010 年）时，使用局部最新的数据建立模型通常比使用全量陈旧数据更有效。
3. 开放性理由：高考统计题的第二问通常是开放的，只要言之有理（通常从图象趋势、残差分布、实际意义三个角度切入）即可得分。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个统计常识：

• 外推风险：利用回归模型预测样本区间外的数据（如 2018 年）称为“外推”。
• 模型有效性：外推预测的前提是“环境不发生剧变”。模型 ② 假设了 2010 年后的增长逻辑会持续到 2018 年，这比模型 ① 包含 18 年前的陈旧数据要合理得多。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-20 解-回归直线方程与预测
• 2011-山东卷文-08 单-回归预报
• 2011-广东卷文-13 填-回归预测