本题导读
本题考查整点与直线方程，以及命题真伪判定与反例构造。
📌【题干】
Question
（2011年安徽卷(理)） 在平面直角坐标系中，如果 与 都是整数，就称点 为整点，下列命题中正确的是.（写出所有正确命题的编号） ① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果 与 都是无理数，则直线 不经过任何整点； ③ 直线 经过无穷多个整点，当且仅当 经过两个不同的整点； ④ 直线 经过无穷多个整点的充分必要条件是： 与 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线.
🔍【思路分析】
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逐项分析命题真伪：
- ① 尝试构造一条不平行于坐标轴且不含整点的直线，如 。
- ② 找反例：取 ，直线经过整点 。
- ③ 分析直线的向量方向：若过两个整点 ，则斜率为有理数，方向向量为整数向量，可平移生成无穷多个整点。
- ④ 找反例： 中 为无理数，但只过 1 个整点 ；或找 经过无穷多整点且 为有理数。需注意“充要条件”的双向推导。
- ⑤ 构造恰过一个整点的直线，如过原点且斜率为无理数的直线 。
✅【答案】
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①③⑤
✍【详细解析】
Abstract
解： 对 5 个命题逐一分析：
- ① 正确：构造直线 。若直线过整点 ，则 ，左边为整数，右边为无理数，矛盾。故该直线既不平行于坐标轴，也不经过任何整点。
- ② 错误：取 ，此时 均为无理数。直线为 。当 时，，经过整点 。
- ③ 正确：若直线经过两个不同整点 和 ，则向量 的分量均为整数。对任意 ， 均为整点，故有无穷多个整点。反之，经过无穷多个整点显然包含经过两个整点。
- ④ 错误：若 经过无穷多个整点，则必过至少两个整点 。斜率 ，截距 ，充分性成立；但反之，若 均为有理数，如 ，此时 均为有理数，但 ，无整数解，即不经过任何整点！因此“ 为有理数”不是“经过无穷多个整点”的充分条件。
- ⑤ 正确：构造直线 。当 时 ，过整点 ；若还过其他整点 （），则 ，矛盾。因此该直线恰好经过一个整点 。
综上所述，正确的命题编号是：①③⑤。
答案为：①③⑤
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：解析几何中整点的存在性、充分必要条件、反例构造。
- 核心方法：举反例法排除假命题；利用有理数与无理数的封闭性进行反证。
- 避坑指南：命题④中容易忽略“ 为有理数时直线可能根本没有整点（如截距为非整数有理数且无整数解）”这一陷阱。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：源自数论与解析几何结合的创新探究题。
- 结论推广：平面直线 （）有整点解的充要条件是 （裴蜀定理）。
🔗【关联脉络】
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