2009-上海卷理-15 单-充要条件

本题导读

本题考查充要条件的判定、一元二次方程实数根与虚数根的判别式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） “$-2\le a\le 2$”是“实系数一元二次方程 $x^2+ax+1=0$ 有虚根”的 ()

A. 必要不充分条件　　　　　　　　　　B. 充分不必要条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出充要条件：利用实系数一元二次方程有虚根的充要条件 $\Delta <0$，求出参数 $a$ 的等价取值范围。

2. 集合包含判定：将已知条件“$-2\le a\le 2$”与求得的等价范围进行包含关系对比，大范围推小范围不成立，小范围推大范围成立，以此锁定逻辑关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

实系数一元二次方程 $x^2+ax+1=0$ 有虚根， 其判别式必须满足： $\Delta =a^2-4<0⟹-2<a<2$ 设已知条件对应的集合为 $P=\{a\mid -2\le a\le 2\}$，有虚根的等价条件集合为 $Q=\{a\mid -2<a<2\}$。 显然 $Q⊊P$。

1. 因为 $Q\subseteq P$，所以由“方程有虚根”能推出“$-2\le a\le 2$”成立，即必要性成立；

2. 因为 $P⊈Q$（例如当 $a=\pm 2$ 时，方程有重实根而非虚根），所以由“$-2\le a\le 2$”不能推出“方程有虚根”，即充分性不成立。 综上所述，“$-2\le a\le 2$”是“方程有虚根”的必要不充分条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次方程“有虚根”对应的判别式必须是 $\Delta <0$，不能取等号。

2. 核心方法：采用“小集合 $⟹$ 大集合”的真包含规律判定充分与必要。

3. 避坑指南：极易误将“虚根”的边界条件错记为 $\Delta \le 0$。对于实系数二次方程，$\Delta =0$ 时产生的是两个相等的实根，不属于虚根范畴。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是代数基础理论的综合考查，源于课本中复数根判定与逻辑联结词基础训练的融合。

2. 结论推广: 对于实系数方程 $A{x}^2+Bx+C=0(A\ne 0)$，其“有实根”的充要条件是 $\Delta \ge 0$，“有虚根”的充要条件是 $\Delta <0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• （待补）

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-03 单-充要条件
• 2011-天津卷文-04 单-充要条件判定
• 2011-安徽卷理-15 填-充要条件