2011-安徽卷理-21 解-轨迹方程

本题导读

本题考查轨迹方程与代入法。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 设 $\lambda >0$，点 $A$ 的坐标为 $(1,1)$，点 $B$ 在抛物线 $y=x^2$ 上运动，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{BQ}=\lambda \overrightarrow{QA}$，经过点 $Q$ 与 $x$ 轴垂直的直线交抛物线于点 $M$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{QM}=\lambda \overrightarrow{MP}$，求点 $P$ 的轨迹方程.

🔍【思路分析】

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1. 设目标点 $P(x,y)$，动点 $B(x_0,y_0)$，中间点 $Q(x_Q,y_Q)$ 与 $M(x_M,y_M)$。
2. 由 $\overrightarrow{QM}=\lambda \overrightarrow{MP}$ 且 $QM\perp x$ 轴，确定 $x_Q=x_M=x_P=x$，并用 $x,y,\lambda$ 表示出 $y_Q$。
3. 由 $M$ 在抛物线 $y=x^2$ 上得 $M(x,x^2)$。结合 $\overrightarrow{BQ}=\lambda \overrightarrow{QA}$ 表示出 $x_0,y_0$。
4. 将 $B(x_0,y_0)$ 的坐标代入 $y_0=x_0^2$，消去参数即得点 $P$ 的轨迹方程。

✅【答案】

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所求点𝑃的轨迹方程为𝑦=2𝑥−1.

✍【详细解析】

Abstract

解： 设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，点 $B$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$，点 $Q$ 的坐标为 $(x_Q,y_Q)$，点 $M$ 的坐标为 $(x_M,y_M)$。

因为经过点 $Q$ 与 $x$ 轴垂直的直线交抛物线于点 $M$，点 $P$ 在该直线上， 所以 $Q,M,P$ 三点的横坐标相同，即： $x_Q=x_M=x_P=x$

由 $M$ 在抛物线 $y=x^2$ 上，可得： $M(x,x^2)$

已知 $\overrightarrow{QM}=\lambda \overrightarrow{MP}$，代入坐标 $\overrightarrow{QM}=(0,x^2-y_Q)$，$\overrightarrow{MP}=(0,y-x^2)$，得： $x^2-y_Q=\lambda (y-x^2)⟹y_Q=(1+\lambda )x^2-\lambda y$ 所以 $Q$ 点坐标为 $\left(x,(1+\lambda )x^2-\lambda y\right)$。

又已知 $\overrightarrow{BQ}=\lambda \overrightarrow{QA}$，由于 $A(1,1),B(x_0,y_0)$： $\overrightarrow{BQ}=(x-x_0,y_Q-y_0)$ $\overrightarrow{QA}=(1-x,1-y_Q)$ 因此： $\{\begin{array}{l}x-x_0=\lambda (1-x)\\ y_Q-y_0=\lambda (1-y_Q)\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_0=(1+\lambda )x-\lambda \\ y_0=(1+\lambda )y_Q-\lambda \end{array}$

将 $y_Q=(1+\lambda )x^2-\lambda y$ 代入 $y_0$ 的表达式中，得： $y_0=(1+\lambda )\left[(1+\lambda )x^2-\lambda y\right]-\lambda =(1+\lambda {)}^2{x}^2-\lambda (1+\lambda )y-\lambda$

因为点 $B(x_0,y_0)$ 在抛物线 $y=x^2$ 上，所以： $y_0=x_0^2$ 将 $x_0,y_0$ 坐标代入，得： $(1+\lambda {)}^2{x}^2-\lambda (1+\lambda )y-\lambda ={\left[(1+\lambda )x-\lambda \right]}^2$ 展开右边： $(1+\lambda {)}^2{x}^2-\lambda (1+\lambda )y-\lambda =(1+\lambda {)}^2{x}^2-2\lambda (1+\lambda )x+{\lambda }^2$ 消去同类项 $(1+\lambda {)}^2{x}^2$： $-\lambda (1+\lambda )y-\lambda =-2\lambda (1+\lambda )x+{\lambda }^2$

因为 $\lambda >0$，两边同除以 $\lambda$： $-(1+\lambda )y-1=-2(1+\lambda )x+\lambda$ $(1+\lambda )y=2(1+\lambda )x-(1+\lambda )$ 因为 $\lambda >0⟹1+\lambda \ne 0$，两边同除以 $1+\lambda$ 得： $y=2x-1$

所以，点 $P$ 的轨迹方程为： $y=2x-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：相关点法（转移代入法）求轨迹方程、平面向量坐标表达。
• 核心方法：
• 确定主从动点：以 $P(x,y)$ 为主表达其他点；
• 利用已知曲线 $y=x^2$ 代入消参。
• 避坑指南：
• 在约简代数式时，要明确 $\lambda >0$ 保证 $1+\lambda \ne 0$，方可直接同除；
• 该轨迹方程 $y=2x-1$ 表示一条完整直线，无需扣除任何点。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自解析几何轨迹求法的经典转移代入法（相关点法）。
• 结论推广：若动点 $B$ 在二次曲线 $f(x,y)=0$ 上，经两次定比分点平移变换后，动点 $P$ 的轨迹形态与变换形式强相关（本题二次项抵消，最终退化为直线）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 1985-全国卷理-15
• 2004-全国卷II理-05 单-正切函数
• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性