2011-山东卷文-09 单-抛物线定义与圆

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及圆与直线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 设 $M(x_0,y_0)$ 为抛物线 $C:x^2=8y$ 上一点，$F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，以 $F$ 为圆心、$|FM|$ 为半径的圆和抛物线 $C$ 的准线相交，则 $y_0$ 的取值范围是 ()

A. $(0,2)$　　　　　B. $[0,2]$　　　　　C. $(2,+\infty )$　　　　　D. $[2,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：抛物线定义给出 $|FM|=y_0+2$
2. 步骤2：“圆与准线相交”即半径 $⩾$ 圆心到准线距离

✅【答案】

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D$y_0\in [2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

$x^2=8y$ 中 $2p=8$，焦点 $F(0,2)$，准线 $y=-2$。

由抛物线定义，$|FM|$ 等于 $M$ 到准线的距离 $y_0+2$。

圆心 $F$ 到准线的距离为 $4$。圆与准线”相交”（有公共点）$⟺$ 半径 $|FM|⩾4$，即 $y_0+2⩾4$，$y_0⩾2$。

故取值范围 $[2,+\infty )$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的焦点与准线；圆与直线相交的条件

核心方法：定义转化 $|FM|=y_0+2$，再翻译”相交”为 $r⩾d$

避坑指南：$2p=8\Rightarrow p=4$？——注意 $x^2=2py$ 型中 $2p=8$，焦点纵坐标 $\frac{p}{2}=2$；“相交”含相切（有公共点），若误认为须割弦两点会错选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线定义与圆题与 2013-四川卷文-05、2013-北京卷文-09、2013-新课标I卷文-08 同族。

结论推广：推广：抛物线 $x^2=2py$ 上点 $M$ 与焦点连线为半径、与准线有公共点 $⟺y_M⩾p$（本题 $p=4$ 时 $y_0⩾2$ 为 $\frac{p}{2}$，因圆心到准线距离为 $p$）。

方法推广：解析几何小题：凡”到焦点距离”先想抛物线定义换成”到准线距离”，几何条件随后翻译成不等式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离
• 2013-北京卷文-09 填-抛物线焦点准线
• 2013-新课标I卷文-08 单-抛物线焦点三角形