2013-新课标I卷文-08 单-抛物线焦点三角形

本题导读

本题考查抛物线的定义与焦半径，以及抛物线中的三角形面积。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） $O$ 为坐标原点，$F$ 为抛物线 $C:y^2=4\sqrt{2}x$ 的焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，若 $|PF|=4\sqrt{2}$，则 $△POF$ 的面积为()

A. $2$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. $2\sqrt{3}$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. $2p=4\sqrt{2}$，$p=2\sqrt{2}$，$F(\sqrt{2},0)$。
2. 由焦半径 $x_P+\frac{p}{2}=4\sqrt{2}$ 得 $x_P=3\sqrt{2}$，再代入求 $|y_P|$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4\sqrt{2}x$ 中 $2p=4\sqrt{2}$，故 $p=2\sqrt{2}$，焦点 $F(\sqrt{2},0)$。 设 $P(x_P,y_P)$，由焦半径公式 $|PF|=x_P+\frac{p}{2}=x_P+\sqrt{2}=4\sqrt{2}⟹x_P=3\sqrt{2}.$ 代入 $y^2=4\sqrt{2}x$ 得 $y_P^2=4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}=24$，故 $|y_P|=2\sqrt{6}$。 于是 $S_{△POF}=\frac{1}{2}\cdot |OF|\cdot |y_P|=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times 2\sqrt{6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3},$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的定义与焦半径

核心方法：焦半径公式求点坐标、底乘高求面积

避坑指南：$y^2=4\sqrt{2}x$ 中 $2p=4\sqrt{2}$，故 $p=2\sqrt{2}$，别把 $2p$ 当成 $p$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的焦点与焦半径。

结论推广：$y^2=2px$ 上点 $(x_0,y_0)$ 满足 $|PF|=x_0+\frac{p}{2}$。

方法推广：“已知焦半径求三角形面积”固定顺序：焦半径定横坐标 → 方程定纵坐标 → 底乘高求面积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-10 单-抛物线焦半径
• 2014-新课标II卷文-10 单-抛物线焦点弦