2011-山东卷理-12 单-向量共线

本题导读

本题考查平面向量共线定理，以及调和分割。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 设 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 $\overrightarrow{A_1{A}_3}=\lambda \overrightarrow{A_1{A}_2}(\lambda \in \mathbf{R})$，$\overrightarrow{A_1{A}_4}=\mu \overrightarrow{A_1{A}_2}(\mu \in \mathbf{R})$，且 $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }=2$，则称 $A_3,A_4$ 调和分割 $A_1,A_2$.已知平面上的点 $C,D$ 调和分割点 $A,B$，则下面说法正确的是 ()

A. $C$ 可能是线段 $AB$ 的中点

B. $D$ 可能是线段 $AB$ 的中点

C. $C,D$ 可能同时在线段 $AB$ 上

D. $C,D$ 不可能同时在线段 $AB$ 的延长线上

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立一维坐标轴：令基准点 $A_1$ 为原点 $0$，$A_2$ 为坐标 $1$。
2. 则 $A_3$ 的坐标为 $\lambda$，$A_4$ 的坐标为 $\mu$。点在线段上的位置对应参数范围：

• 在线段 $A_1{A}_2$ 内部 $⟺\lambda \in (0,1)$；
• 在延长线上（$A_2$ 右侧）$⟺\lambda >1$；
• 在反向延长线上（$A_1$ 左侧）$⟺\lambda <0$；
• 为中点 $⟺\lambda =\frac{1}{2}$。

3. 利用 $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }=2$ 逐项分析检验各个选项的成立性。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

建立一维数轴，设点 $A_1$ 的坐标为 $0$，$A_2$ 的坐标为 $1$。 由 $\overrightarrow{A_1{A}_3}=\lambda \overrightarrow{A_1{A}_2}$，$\overrightarrow{A_1{A}_4}=\mu \overrightarrow{A_1{A}_2}$， 可知点 $A_3$ 的坐标为 $\lambda$，点 $A_4$ 的坐标为 $\mu$。 题目中对应关系为：$A_1\to A$，$A_2\to B$，$A_3\to C$，$A_4\to D$。 由于四点两两不同，故 $\lambda \ne 0,\mu \ne 0,\lambda \ne 1,\mu \ne 1$，且 $\lambda \ne \mu$。 已知： $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }=2$

• 对 A 选项：若 $C$ 是线段 $AB$ 的中点，则 $\lambda =\frac{1}{2}$。 代入得 $\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\mu }=2⟹2+\frac{1}{\mu }=2⟹\frac{1}{\mu }=0$，无解。 故 $C$ 不可能是线段 $AB$ 的中点，A 错误；
• 对 B 选项：同理，若 $D$ 是线段 $AB$ 的中点，则 $\mu =\frac{1}{2}$，导致 $\frac{1}{\lambda }=0$，无解。 故 $D$ 不可能是线段 $AB$ 的中点，B 错误；
• 对 C 选项：若 $C,D$ 同时在线段 $AB$ 上，则必有 $0<\lambda <1$ 且 $0<\mu <1$。 由此可得： $\frac{1}{\lambda }>1\text{且}\frac{1}{\mu }>1$ 两式相加得： $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }>2$ 这与 $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }=2$ 矛盾！ 故 $C,D$ 不可能同时在线段 $AB$ 上，C 错误；
• 对 D 选项：点在线段 $AB$ 的延长线上指 $\lambda >1$ 且 $\mu >1$。 若 $C,D$ 同时在线段 $AB$ 的延长线上，则： $\lambda >1⟹0<\frac{1}{\lambda }<1$ $\mu >1⟹0<\frac{1}{\mu }<1$ 两式相加得： $0<\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }<2$ 这与 $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }=2$ 矛盾！ 因此，$C,D$ 不可能同时在线段 $AB$ 的延长线上，D 正确。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：共线向量参数化表示、新定义“调和分割”代数方程分析、不等式区间推导。
• 核心方法：
• 一维化（数轴标数法）：设定点为 $0$ 和 $1$，直接将向量问题完全转化为实数标量倒数和方程；
• 不等式求和放缩检验矛盾。
• 避坑指南：牢记“调和分割”的经典几何结论——调和共轭的两点中，必定一个在线段内部（内分点），另一个在线段外部（外分点），不可能同在内或同在外。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自射影几何与欧氏几何中的“调和点列（Harmonic Division / Harmonic Conjugate）”。若 $C,D$ 调和分割线段 $AB$，则交比 $(A,B;C,D)=-1$，即 $\frac{AC}{CB}=-\frac{AD}{DB}$。
• 结论推广：
• 调和点列中，内分点与外分点必各居其一（一个在 $AB$ 内部，一个在 $AB$ 延长线或反向延长线上）；
• 线段 $AB$ 的中点对应的调和共轭点在无穷远处（$\mu \to \infty$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2008-湖南卷理-07