2011-山东卷理-15 填-函数迭代

本题导读

本题考查归纳推理，以及复合函数的递推与迭代。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 设函数 $f(x)=\frac{x}{x+2}(x>0)$，观察： $f_1(x)=f(x)=\frac{x}{x+2}$， $f_2(x)=f(f_1(x))=\frac{x}{3x+4}$， $f_3(x)=f(f_2(x))=\frac{x}{7x+8}$， $f_4(x)=f(f_3(x))=\frac{x}{15x+16}$， $\cdots$ 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 且 $n⩾2$ 时，$f_n(x)=f(f_{n-1}(x))=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察分子特征：均为 $x$。
2. 观察分母中常数项：$2,4,8,16,\cdots$，呈现 $2^n$ 的规律。
3. 观察分母中 $x$ 的系数：$1,3,7,15,\cdots$，呈现 $2^n-1$ 的规律。
4. 综合得出分母形式为 $(2^n-1)x+2^n$。

✅【答案】

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$\frac{x}{(2^n-1)x+2^n}$

✍【详细解析】

Abstract

观察所给各项的解析式：

• $n=1$ 时，$f_1(x)=\frac{x}{1x+2}=\frac{x}{(2^1-1)x+2^1}$；
• $n=2$ 时，$f_2(x)=\frac{x}{3x+4}=\frac{x}{(2^2-1)x+2^2}$；
• $n=3$ 时，$f_3(x)=\frac{x}{7x+8}=\frac{x}{(2^3-1)x+2^3}$；
• $n=4$ 时，$f_4(x)=\frac{x}{15x+16}=\frac{x}{(2^4-1)x+2^4}$； $\cdots$ 分数的分子始终为 $x$； 分母中常数项为 $2^n$； 分母中 $x$ 的系数为 $2^n-1$。 由归纳推理可得，当 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 且 $n⩾2$ 时： $f_n(x)=\frac{x}{(2^n-1)x+2^n}$ 故答案为：$\frac{x}{(2^n-1)x+2^n}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：归纳推理、数列通项模型在函数迭代中的识别。
• 核心方法：
• 提取分子、自变量系数、常数项三部分数列分别找规律；
• 联想公比为 2 的等比数列模型。
• 避坑指南：写分母时切勿把 $2^n-1$ 与 $2^{n-1}$ 混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修2-2推理与证明章节中典型的归纳推理题目，其背景为一阶分式线性变换（默比乌斯变换）的矩阵幂乘。
• 结论推广：对 $f(x)=\frac{x}{Ax+B}$（$B\ne 1$），迭代 $n$ 次的结果恒为 $f_n(x)=\frac{x}{A\frac{B^n-1}{B-1}x+B^n}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2010-湖南卷文-20 解-数表归纳与裂项
• 2010-陕西卷理-12
• 2013-陕西卷理-14 填-归纳推理的基本方法