2010-湖南卷文-20 解-数表归纳与裂项

本题导读

考查数表归纳与裂项。表4 各行平均数 4、8、16、32 成公比 2 的等比数列，推广为表 $n$ 第 $r$ 行平均数 $n\cdot 2^{r-1}$；故 $b_n=n{2}^{n-1}$，所求和 $=4-\frac{1}{(n+1)2^{n-2}}$。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 给出下面的数表序列：

表1	表2	表3	$\cdots$
1	1　3	1　3　5	$\cdots$
	4	4　8
		12

其中表 $n$（$n=1,2,3,\cdots$）有 $n$ 行，第 1 行的 $n$ 个数是 $1,3,5,\cdots ,2n-1$，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.

(1)写出表4，验证表4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 $n$（$n⩾3$）（不要求证明）；

(2)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列 $1,4,12,\cdots$，记此数列为 $\{b_n\}$，求和： $\frac{b_3}{b_1{b}_2}+\frac{b_4}{b_2{b}_3}+\cdots +\frac{b_{n+2}}{b_n{b}_{n+1}}(n\in {\mathbf{N}}^{\ast }).$

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）按”肩上两数之和”规则写出表4，算各行平均数，验证等比；按第 1 行平均数为 $n$、公比为 2 推广。 2.（2）末行唯一数即第 $n$ 行平均数，故 $b_n=n\cdot 2^{n-1}$。 3. 通项拆成 $2/(k\cdot 2^{k-2})-2/((k+1)2^{k-1})$ 相消求和。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 表4 各行平均数 4、8、16、32，构成首项 4、公比 2 的等比数列；推广：表 $n$ 各行平均数构成首项 $n$、公比 2 的等比数列

(2) $4-\frac{1}{(n+1)2^{n-2}}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）表4 为：第 1 行 $1,3,5,7$；第 2 行 $4,8,12$；第 3 行 $12,20$；第 4 行 $32$. 各行中数的平均数依次为 $\frac{1+3+5+7}{4}=4,\frac{4+8+12}{3}=8,\frac{12+20}{2}=16,32,$ 即 $4,8,16,32$，构成以 2 为公比的等比数列. 推广：表 $n$ 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 $n$、公比为 2 的等比数列. （2）由（1）的结论，表 $n$ 第 $r$ 行（$r=1,2,\cdots ,n$）中数的平均数为 $n\cdot 2^{r-1}$. 表 $n$ 的最后一行是第 $n$ 行，其唯一一个数等于该行平均数，故 $b_n=n\cdot 2^{n-1}.$ 于是 $\frac{b_{k+2}}{b_k{b}_{k+1}}=\frac{(k+2)\cdot 2^{k+1}}{k\cdot 2^{k-1}\cdot (k+1)\cdot 2^k}=\frac{k+2}{k(k+1)}\cdot \frac{1}{2^{k-2}}=\frac{2}{k\cdot 2^{k-2}}-\frac{2}{(k+1)\cdot 2^{k-1}}.$ （验证：右式通分，分子 $=2(k+1)\cdot 2^{k-1}-2k\cdot 2^{k-2}=2^{k-2}[4(k+1)-2k]=2^{k-1}\cdot 2(k+2)$，与左式一致.） 所以 ${\sum }_{k=1}^n\frac{b_{k+2}}{b_k{b}_{k+1}}={\sum }_{k=1}^n\left(\frac{2}{k\cdot 2^{k-2}}-\frac{2}{(k+1)\cdot 2^{k-1}}\right)=\frac{2}{1\cdot 2^{-1}}-\frac{2}{(n+1)\cdot 2^{n-1}}=4-\frac{1}{(n+1)\cdot 2^{n-2}}.$ 故所求和为 $4-\frac{1}{(n+1)2^{n-2}}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数表规律归纳与裂项求和

核心方法：第 $r$ 行平均数为 $n\cdot 2^{r-1}$（首项 $n$、公比 2）；$b_n=n{2}^{n-1}$，通项按 $\frac{2}{k\cdot 2^{k-2}}-\frac{2}{(k+1)\cdot 2^{k-1}}$ 裂项

避坑指南：平均数规律从表4 归纳后可直接用于末行（$r=n$ 行唯一数即平均数）；裂项式要通分验证一遍再求和，首项 $k=1$ 时 $2^{-1}$ 别算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数表型数列题：先看行平均数/行和的规律，再落到通项与求和。

结论推广：杨辉三角式递推表中，第 $r$ 行元素是第 1 行的线性叠加，平均数往往呈等比。

方法推广：裂项相消求和三步：拆通项、验首末、代公式；结果要化成最简形式并写 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项
• 2013-安徽卷文-19 解-数列递推与裂项
• 2013-新课标I卷文-17 解-等差数列裂项求和
• 2012-江西卷文-05 单-归纳推理找规律