2011-山东卷理-18 解-分布列

本题导读

本题考查相互独立事件的概率乘法公式。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 进行围棋比赛，甲对 $A$ 、乙对 $B$ 、丙对 $C$ 各一盘.已知甲胜 $A$ 、乙胜 $B$ 、丙胜 $C$ 的概率分别为 0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立.

(1) 求红队至少两名队员获胜的概率；

(2) 用 $ξ$ 表示红队队员获胜的总盘数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E ξ$ .

🔍【思路分析】

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对 (1)：“至少两名队员获胜”包含两种互斥情况：恰有两人获胜、三人全部获胜。利用相互独立事件的概率乘法公式分别计算并求和。

对 (2)：确定随机变量 $ξ$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3$ 。分别计算每个取值对应的概率，列出分布列，利用数学期望公式 $E ξ = \sum x_{i} p_{i}$ （或期望的线性性质 $E (ξ_{1} + ξ_{2} + ξ_{3}) = E ξ_{1} + E ξ_{2} + E ξ_{3}$ ）求出数学期望。

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✍【详细解析】

Abstract

记事件 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 分别表示“甲胜 $A$ ”、“乙胜 $B$ ”、“丙胜 $C$ ”。由题意可知 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 相互独立，且： $P (A_{1}) = 0.6, P (A_{2}) = 0.5, P (A_{3}) = 0.5$ 其对立事件的概率分别为： $P (\overline{A_{1}}) = 1 - 0.6 = 0.4, P (\overline{A_{2}}) = 1 - 0.5 = 0.5, P (\overline{A_{3}}) = 1 - 0.5 = 0.5$

(1) 记“红队至少两名队员获胜”为事件 $M$ 。事件 $M$ 包含“恰好两名队员获胜”与“三名队员全部获胜”两种互斥情况：

恰有两名队员获胜的概率为： $P_{2} = P (A_{1} A_{2} \overline{A_{3}}) + P (A_{1} \overline{A_{2}} A_{3}) + P (\overline{A_{1}} A_{2} A_{3})$ $= 0.6 \times 0.5 \times 0.5 + 0.6 \times 0.5 \times 0.5 + 0.4 \times 0.5 \times 0.5$ $= 0.15 + 0.15 + 0.10 = 0.40$

三名队员全部获胜的概率为： $P_{3} = P (A_{1} A_{2} A_{3}) = 0.6 \times 0.5 \times 0.5 = 0.15$ 所以红队至少两名队员获胜的概率为： $P (M) = P_{2} + P_{3} = 0.40 + 0.15 = 0.55$

(2) 由题意， $ξ$ 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3。分别计算其对应的概率：

$P (ξ = 0) = P (\overline{A_{1}} \overline{A_{2}} \overline{A_{3}}) = 0.4 \times 0.5 \times 0.5 = 0.1$

$P (ξ = 1) = P (A_{1} \overline{A_{2}} \overline{A_{3}}) + P (\overline{A_{1}} A_{2} \overline{A_{3}}) + P (\overline{A_{1}} \overline{A_{2}} A_{3})$ $= 0.6 \times 0.5 \times 0.5 + 0.4 \times 0.5 \times 0.5 + 0.4 \times 0.5 \times 0.5$ $= 0.15 + 0.10 + 0.10 = 0.35$

由 (1) 知： $P (ξ = 2) = 0.4$ $P (ξ = 3) = 0.15$ （检验： $0.1 + 0.35 + 0.4 + 0.15 = 1$ ）。所以 $ξ$ 的分布列为：

$ξ$ 0 1 2 3
$P$ 0.1 0.35 0.4 0.15

$ξ$	0	1	2	3
$P$	0.1	0.35	0.4	0.15

数学期望为： $E ξ = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.35 + 2 \times 0.4 + 3 \times 0.15$ $= 0 + 0.35 + 0.8 + 0.45 = 1.6$ （亦可由期望的线性性质求解：设 $ξ = ξ_{1} + ξ_{2} + ξ_{3}$ ，其中 $ξ_{i} \sim B (1, p_{i})$ ，则 $E ξ = 0.6 + 0.5 + 0.5 = 1.6$ ）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：非同等概率下的独立事件组合概率、离散型分布列与期望计算。

核心方法：

互斥事件分别列式并求和；

利用期望的线性性质 $E (X_{1} + X_{2} + X_{3}) = E (X_{1}) + E (X_{2}) + E (X_{3})$ 快速验算期望值。

避坑指南：三位选手的胜率不完全相等（甲是 0.6，乙丙是 0.5），不能直接当作参数相同的二项分布 $B (3, p)$ 套用公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：经典的独立事件决策概率模型（多局对抗赛中的团体得分分布）。

结论推广：若 $n$ 场独立比赛获胜概率分别为 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ ，则总胜场数期望恒满足 $E ξ = \sum_{i = 1}^{n} p_{i}$ 。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

15.02 随机事件、关系与独立性

23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

2006-天津卷理-18 解-离散型随机变量的分布列

2007-天津卷理-18 解-离散型随机变量数学期望

2013-山东卷理-19 解-相互独立事件的概率乘法公式

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2011-山东卷理-18 解-分布列

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