2013-山东卷理-19 解-相互独立事件的概率乘法公式

本题导读

本题考查相互独立事件的概率乘法公式。核心在于分类讨论法、列表法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 甲乙两支排球队进行比赛，先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 $\frac{1}{2}$，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$.设各局比赛结果相互独立.

(1)分别求甲队 $3:0,3:1,3:2$ 胜利的概率；

(2)若比赛结果 $3:0$ 或 $3:1$，则胜利方得 $3$ 分，对方得 $0$ 分；若比赛结果 $3:2$，则胜利方得 $2$ 分，对方得 $1$ 分，求乙队得分 $X$ 的分布列及数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（甲胜概率）：
   • $3:0$：前三局甲全胜。
   • $3:1$：前三局甲胜两局，第四局甲必胜。
   • $3:2$：前四局甲胜两局，第五局甲必胜。
2. 第二问（分布列与期望）：
   • 确定取值：分析获胜比分对应的得分规则。乙队得分 $X$ 的取值可能为 $0$（甲大胜）、$1$（甲险胜）、$2$（乙险胜）、$3$（乙大胜）。
   • 计算概率：利用对称性或重新计算乙胜的各种情形概率。注意第五局概率的变化。
   • 期望公式：$E(X)=\sum x_i{P}_i$。

✅【答案】

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$X=0$；$X=1$；$X=2$；$X=3$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 记甲队获胜局数为 $A$，乙队获胜局数为 $B$。 ① 甲队 $3:0$ 胜利： $P_1={\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$ ② 甲队 $3:1$ 胜利（前 3 局甲 2 胜 1 负，第 4 局甲胜）： $P_2=C_3^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\left(1-\frac{2}{3}\right)\times \frac{2}{3}=3\times \frac{4}{9}\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{8}{27}$ ③ 甲队 $3:2$ 胜利（前 4 局甲 2 胜 2 负，第 5 局甲胜）： $P_3=C_4^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2{\left(1-\frac{2}{3}\right)}^2\times \frac{1}{2}=6\times \frac{4}{9}\times \frac{1}{9}\times \frac{1}{2}=\frac{4}{27}$

（2）解： 由得分规则可知，乙队得分 $X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$。

• $X=0$（即甲队 $3:0$ 或 $3:1$ 胜）： $P(X=0)=P_1+P_2=\frac{8}{27}+\frac{8}{27}=\frac{16}{27}$
• $X=1$（即甲队 $3:2$ 胜）： $P(X=1)=P_3=\frac{4}{27}$
• $X=2$（即乙队 $3:2$ 胜，前 4 局乙 2 胜 2 负，第 5 局乙胜）： $P(X=2)=C_4^2{\left(1-\frac{2}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\times \left(1-\frac{1}{2}\right)=6\times \frac{1}{9}\times \frac{4}{9}\times \frac{1}{2}=\frac{4}{27}$
• $X=3$（即乙队 $3:0$ 或 $3:1$ 胜）： 乙队 $3:0$ 胜：$(1-\frac{2}{3}{)}^3=\frac{1}{27}$。 乙队 $3:1$ 胜：$C_3^2(1-\frac{2}{3}{)}^2\frac{2}{3}\times (1-\frac{2}{3})=3\times \frac{1}{9}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{27}$。 $P(X=3)=\frac{1}{27}+\frac{2}{27}=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$

分布列如下：

$X$	3	2	1	0
$P$	$\frac{3}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{16}{27}$
（注：$\frac{3+4+4+16}{27}=1$，计算正确）

数学期望： $E(X)=3\times \frac{3}{27}+2\times \frac{4}{27}+1\times \frac{4}{27}+0\times \frac{16}{27}=\frac{9+8+4}{27}=\frac{21}{27}=\frac{7}{9}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：多轮比赛中特定比分的概率计算。 2. 易错点： - “最后一局”陷阱：计算 $3:1$ 概率时，不能直接用 $C_4^3{p}^3{q}^1$，因为如果前 3 局甲全胜，比赛在第 3 局就结束了，不会有第 4 局。必须保证最后一局是获胜局，前几局选出剩下的获胜场次。 - 条件变化：第 5 局概率为 $\frac{1}{2}$，与前 4 局不同，需单独代入。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正态分布、二项分布。

结论推广：在“$n$ 局 $m$ 胜制”中，若单局胜率为 $p$，则 $k:j$ ($k=m,j<m$) 获胜的概率为 $C_{k+j-1}^{m-1}{p}^m(1-p{)}^j$。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-20 解-独立事件概率
• 2013-大纲卷文-20 解-独立事件概率
• 2026-上海卷-14 单-独立事件