2011-广东卷理-05 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及向量数量积的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 已知平面直角坐标系 $xOy$ 上的区域 $D$ 由不等式组 $\{\begin{array}{l}0⩽x⩽\sqrt{2}\\ y⩽2\\ x⩽\sqrt{2}y\end{array}$ 给定. 若 $M(x,y)$ 为 $D$ 上的动点，点 $A$ 的坐标为 $(\sqrt{2},1)$，则 $z=\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OA}$ 的最大值为 ()

A. $4\sqrt{2}$　　　　　　　B. $3\sqrt{2}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 写出向量数量积的目标函数表达式 $z=\sqrt{2}x+y$。
2. 画出不等式组表示的可行域 $D$。
3. 寻找直线 $y=-\sqrt{2}x+z$ 截距最大时穿过的可行域顶点。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由题意，$\overrightarrow{OM}=(x,y)$，$\overrightarrow{OA}=(\sqrt{2},1)$，则： $z=\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OA}=\sqrt{2}x+y$ 可行域 $D$ 为由直线 $x=0$，$x=\sqrt{2}$，$y=2$ 及 $x=\sqrt{2}y$（即 $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x$）围成的四边形区域。 其各个交点坐标为： 原点 $(0,0)$，$(0,2)$，$(\sqrt{2},2)$，以及 $x=\sqrt{2}$ 与 $x=\sqrt{2}y$ 的交点 $(\sqrt{2},1)$。 目标函数 $z=\sqrt{2}x+y$ 变形为 $y=-\sqrt{2}x+z$，其几何意义为斜率为 $-\sqrt{2}$ 的直线在 $y$ 轴上的截距。 当直线经过可行域最右上方的顶点 $(\sqrt{2},2)$ 时，$z$ 取得最大值： $z_{\max }=\sqrt{2}\times \sqrt{2}+2=2+2=4$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性规划与向量数量积坐标运算的交叉融合。
• 核心方法：目标函数几何化（截距法）或可行域顶点代入法。
• 避坑指南：不等式 $x⩽\sqrt{2}y$ 对应的边界为 $y⩾\frac{\sqrt{2}}{2}x$，作图时注意可行域的上下方位。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于运筹学中凸多面体上线性泛函的极值定理（极值必在极点处取得）。
• 结论推广：在二维闭凸多边形区域上，线性目标函数 $z=Ax+By$ 的最值必定在凸多边形的至少一个顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-03 单-线性规划
• 2013-天津卷理-02 单-线性规划
• 2013-山东卷理-06 单-线性规划