2013-山东卷理-06 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及简单线性规划。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$M$ 为不等式组 $\{\begin{array}{l}2x-y-2\ge 0\\ x+2y-1\ge 0\\ 3x+y-8\le 0\end{array}$ 所表示的区域上一动点，则直线 $OM$ 斜率的最小值为()

A. $2$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $-\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：分别画出三条直线 $2x-y-2=0$，$x+2y-1=0$，$3x+y-8=0$，根据不等号确定三角形可行域。
2. 理解几何意义：直线 $OM$ 的斜率 $k=\frac{y_M-0}{x_M-0}$，即可行域内的动点 $M(x,y)$ 与原点 $O(0,0)$ 连线的斜率。
3. 寻找最值点：观察可行域相对于原点的位置。斜率最小对应连线倾斜角最小（或负向最陡）。通常在可行域的顶点处取得。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract


第一步：确定可行域顶点。 解方程组求各直线交点：

• 由 $\{\begin{array}{l}2x-y-2=0\\ x+2y-1=0\end{array}⟹A(1,0)$
• 由 $\{\begin{array}{l}x+2y-1=0\\ 3x+y-8=0\end{array}⟹B(3,-1)$
• 由 $\{\begin{array}{l}2x-y-2=0\\ 3x+y-8=0\end{array}⟹C(2,2)$ 可行域为以 $A,B,C$ 为顶点的三角形区域。

第二步：计算各顶点与原点连线的斜率。

• $k_{OA}=\frac{0}{1}=0$
• $k_{OB}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$
• $k_{OC}=\frac{2}{2}=1$

第三步：判定最小值。 由于原点 $O(0,0)$ 在可行域外部，且可行域在直线 $OA$ 的上下两侧均有分布。通过观察图象可知，当点 $M$ 位于点 $B(3,-1)$ 时，连线 $OB$ 的斜率达到最小。 $k_{\min }=-\frac{1}{3}$

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划中非目标函数的几何最值问题。

核心方法：数形结合。将代数式 $y/x$ 转化为斜率，$ax+by$ 转化为截距，$\sqrt{x^2+y^2}$ 转化为距离。

避坑指南：- 画图要准确，尤其是原点与可行域的相对位置。 - 注意斜率在垂直于 $x$ 轴附近时的不连续性，但在本题的可行域范围内斜率连续变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划目标函数（截距型、距离型、斜率型）。

结论推广：若求斜率最大值，本题中为 $k_{OC}=1$。

方法推广：面对 $\frac{y-b}{x-a}$ 形式的最值问题，统一看作点 $(x,y)$ 与定点 $(a,b)$ 连线的斜率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划