2011-广东卷理-06 单-分布列

本题导读

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率加法公式。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 甲、乙两队进行排球决赛. 现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{3}{5}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每局两队获胜概率均为 $\frac{1}{2}$。
2. 考虑对立事件：乙队获得冠军必须连赢两局，其概率极易计算。
3. 利用对立事件公式 $P(\text{甲})=1-P(\text{乙})$ 求得结果。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

由题意，每局比赛甲、乙获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$。 乙队获得冠军，当且仅当乙队在接下来的两局中全部获胜，该事件发生的概率为： $P(\text{乙获胜})=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ 由于甲、乙两队必有一队获得冠军，故甲队获得冠军为其对立事件： $P(\text{甲获胜})=1-P(\text{乙获胜})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：独立重复试验与对立事件概率转化。
• 核心方法：逆向思维（对立事件法），比正向分类（第 1 局甲胜，或第 1 局乙胜且第 2 局甲胜：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$）更简捷。
• 避坑指南：不可按条件概率或当前胜负局数比例（如 $2:1$）主观分配概率。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于概率论发展史上的经典“点数分配问题”（Problem of Points，费马与帕斯卡于1654年的通信）。
• 结论推广：若甲还需要 $m$ 局获胜，乙还需要 $n$ 局获胜，比赛至多再进行 $m+n-1$ 局，两队胜率相同下的最终胜率等价于求二项分布前 $m$ 项的累加。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2003-江苏卷-17
• 2006-四川卷理-18 解-对立事件的概率应用
• 2020-全国卷I理-19 解-概率综合