2011-广东卷理-17 解-分层抽样

本题导读

本题考查分层抽样。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 $14$ 件和 $5$ 件，测量产品中微量元素 $x,y$ 的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的 $5$ 件产品的测量数据：

编号	1	2	3	4	5
$x$	169	178	166	175	180
$y$	75	80	77	70	81

(1) 已知甲厂生产的产品共有 $98$ 件，求乙厂生产的产品数量；

(2) 当产品中的微量元素 $x,y$ 满足 $x⩾175$ 且 $y⩾75$ 时，该产品为优等品. 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

(3) 从乙厂抽出的上述 $5$ 件产品中，随机抽取 $2$ 件，求抽取的 $2$ 件产品中优等品数 $\xi$ 的分布列及其均值（即数学期望）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：分层抽样中各层抽取的比例相同，设乙厂产品数为 $m$，根据 $\frac{14}{98}=\frac{5}{m}$ 求解。
2. 第 (2) 问：根据条件 $x⩾175$ 且 $y⩾75$ 筛选乙厂样本中的优等品，计算优等品频率，再乘以乙厂产品总数得到估计值。
3. 第 (3) 问：确定 5 件样本中优等品与非优等品的件数，明确随机变量 $\xi$ 的所有可能取值，利用古典概型（超几何分布）计算各取值的概率，列出分布列并求数学期望。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 设乙厂生产的产品数量为 $m$ 件. 由分层抽样的性质可知，抽样比为 $\frac{14}{98}=\frac{1}{7}$. 则 $\frac{5}{m}=\frac{1}{7}$，解得 $m=35$. 答：乙厂生产的产品数量为 $35$ 件.

(2) 检验乙厂 5 件样本数据：

• 编号 1：$x=169<175$，不满足；
• 编号 2：$x=178⩾175$ 且 $y=80⩾75$，满足；
• 编号 3：$x=166<175$，不满足；
• 编号 4：$x=175⩾175$，但 $y=70<75$，不满足；
• 编号 5：$x=180⩾175$ 且 $y=81⩾75$，满足. 故样本中优等品有 2 件（编号 2, 5），样本优等品率为 $\frac{2}{5}$. 以此估计乙厂生产的优等品数量为： $35\times \frac{2}{5}=14$（件）.

(3) 乙厂抽出的 5 件产品中，优等品有 2 件，非优等品有 3 件. 从中随机抽取 2 件，优等品数 $\xi$ 的可能取值为 $0,1,2$. $P(\xi =0)=\frac{{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_5^2}=\frac{3}{10}$, $P(\xi =1)=\frac{{\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_3^1}{{\mathrm{C}}_5^2}=\frac{2\times 3}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$, $P(\xi =2)=\frac{{\mathrm{C}}_2^2}{{\mathrm{C}}_5^2}=\frac{1}{10}$.

故 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2
$P$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

均值（数学期望）为： $E(\xi )=0\times \frac{3}{10}+1\times \frac{3}{5}+2\times \frac{1}{10}=\frac{4}{5}$. （或由超几何分布期望公式：$E(\xi )=2\times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分层抽样比例公式 $\frac{n_i}{N_i}=\frac{n}{N}$；样本频率估计总体频数；超几何分布 $X\sim H(N,M,n)$。
• 核心方法：列表统计与逐个条件检验；组合数计算离散型随机变量概率分布；期望公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$。
• 避坑指南：第 (2) 问优等品定义为逻辑与“且”，需两指标同时满足，编号 4 容易误判；第 (3) 问是不放回抽样，属于超几何分布，不能当作二项分布处理。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源： 源于数理统计中的抽样检验理论与质量控制（SPC）。对应高等概率论中不放回抽样的超几何分布模型及点估计方法。

• 结论推广： 设总体容量为 $N$，其中包含 $M$ 件特定物品，不放回随机抽取 $n$ 件，抽得该特定物品数记为 $X$，则 $X\sim H(N,M,n)$： $P(X=k)=\frac{{\mathrm{C}}_M^k{\mathrm{C}}_{N-M}^{n-k}}{{\mathrm{C}}_N^n},(\max (0,n-(N-M))⩽k⩽\min (n,M))$ 其均值为： $E(X)=n\cdot \frac{M}{N}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2004-全国卷II理-13 填-离散型随机变量的分布列
• 2008-大纲卷I理-20