2013-浙江卷理-19 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量。核心在于枚举法、方程组法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 19. 设袋子中装有 $a$ 个红球，$b$ 个黄球，$c$ 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球 2 分，取出蓝球得 3 分.

(1)当 $a=3,b=2,c=1$ 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量 $\xi$ 为取出此 2 球所得分数之和，求 $\xi$ 分布列；

(2)从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1 个球，记随机变量 $\eta$ 为取出此球所得分数.若 $E\eta =\frac{5}{3},D\eta =\frac{5}{9}$，求 $a:b:c$.

🔍【思路分析】

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• 第一问：总球数为 $3+2+1=6$。取两球且有放回，总基本事件数为 $6\times 6=36$。$\xi$ 的可能取值为 $\{2,3,4,5,6\}$。分别通过组合情况（如 $\xi =3$ 代表一次红球一次黄球）计算对应概率，列出分布列。
• 第二问：设总球数为 $n=a+b+c$。根据取出不同色球的概率 $\frac{a}{n},\frac{b}{n},\frac{c}{n}$，建立关于期望 $E\eta$ 和方差 $D\eta$ 的方程组。通过消元化简，求解 $a,b,c$ 之间的比例关系。

✅【答案】

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故 $\xi$ 的分布列为：；所以 $a:b:c=3c:2c:c=3:2:1$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由题意知，球的总数 $n=3+2+1=6$。$\xi$ 的可能取值为 2, 3, 4, 5, 6。 $P(\xi =2)=\frac{3}{6}\times \frac{3}{6}=\frac{1}{4}$；（两次红球） $P(\xi =3)=\frac{3}{6}\times \frac{2}{6}\times 2=\frac{1}{3}$；（一红一黄） $P(\xi =4)=\frac{2}{6}\times \frac{2}{6}+\frac{3}{6}\times \frac{1}{6}\times 2=\frac{4+6}{36}=\frac{5}{18}$；（两次黄球 或 一红一蓝） $P(\xi =5)=\frac{2}{6}\times \frac{1}{6}\times 2=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$；（一黄一蓝） $P(\xi =6)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$。（两次蓝球）

故 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	2	3	4	5	6
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$

（Ⅱ）解： 设 $n=a+b+c$，则 $\eta$ 的分布列为：

$\eta$	1	2	3
$P$	$\frac{a}{n}$	$\frac{b}{n}$	$\frac{c}{n}$

由 $E\eta =\frac{5}{3}$ 得： $1\cdot \frac{a}{n}+2\cdot \frac{b}{n}+3\cdot \frac{c}{n}=\frac{5}{3}⟹3a+6b+9c=5(a+b+c)⟹2a-b-4c=0\text{(1)}$

由 $D\eta =\frac{5}{9}$ 及 $D\eta =E({\eta }^2)-(E\eta {)}^2$ 得： $E({\eta }^2)=\frac{5}{9}+(\frac{5}{3}{)}^2=\frac{5}{9}+\frac{25}{9}=\frac{30}{9}=\frac{10}{3}$ 则 $1^2\cdot \frac{a}{n}+2^2\cdot \frac{b}{n}+3^2\cdot \frac{c}{n}=\frac{10}{3}⟹3a+12b+27c=10(a+b+c)⟹7a-2b-17c=0\text{(2)}$

联立 ① ②： $\{\begin{array}{l}2a-b-4c=0\\ 7a-2b-17c=0\end{array}$ 由 ① 得 $b=2a-4c$，代入 ② 得： $7a-2(2a-4c)-17c=0⟹3a-9c=0⟹a=3c$。 代入 $b=2(3c)-4c=2c$。

所以 $a:b:c=3c:2c:c=3:2:1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：有放回抽样的独立重复性；离散型随机变量分布列的完整性（概率和为 1）；期望与方差的定义式。

核心方法：“方程组转化法”。处理方差问题时，使用 $D\eta =E({\eta }^2)-(E\eta {)}^2$ 往往比直接带入离差平方和公式计算量更小。

避坑指南：第一问求和时不要漏掉组合系数 2（如“红黄”与“黄红”是两种不同顺序但分数和相同的情况）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：超几何分布（无放回）、二项分布。

结论推广：若样本量极大，样本均值和样本方差将趋近于总体的期望与方差。

方法推广：对于多变量的比例问题，设其中一个变量为参数（如设 $c=1$ 或保留变量名最后约去）是常用技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

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