2011-广东卷理-19 解-双曲线定义

本题导读

本题考查双曲线的定义与标准方程。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)）

设圆 $C$ 与两圆 $(x+\sqrt{5}{)}^2+y^2=4$，$(x-\sqrt{5}{)}^2+y^2=4$ 中的一个内切，另一个外切.

(1) 求 $C$ 的圆心轨迹 $L$ 的方程.

(2) 已知点 $M\left(\frac{3\sqrt{5}}{5},\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)$，$F(\sqrt{5},0)$，且 $P$ 为 $L$ 上动点，求 $||MP|-|FP||$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：

• 设已知两圆为 $C_1:(x+\sqrt{5}{)}^2+y^2=4$ 和 $C_2:(x-\sqrt{5}{)}^2+y^2=4$，圆心分别为 $F_1(-\sqrt{5},0)$，$F_2(\sqrt{5},0)$，半径均为 $r_0=2$；
• 设动圆 $C$ 的圆心为 $P(x,y)$，半径为 $R$；
• 若 $C$ 与 $C_1$ 内切、与 $C_2$ 外切，则 $|P{F}_1|=|R-2|$ 或 $2-R$，由两圆相切关系可得 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=\pm 4$，符合双曲线定义，由此求出轨迹方程。

2. 第 (2) 问：

• 点 $F(\sqrt{5},0)$ 正好是双曲线的右焦点 $F_2$，$F_1(-\sqrt{5},0)$ 为左焦点；
• 根据双曲线定义，$|P{F}_2|=|P{F}_1|\mp 2a$，从而把 $|MP|-|FP|$ 转化为含 $|MP|$ 与 $|P{F}_1|$ 的式子；
• 利用平面几何三角形性质 $|MP|-|P{F}_1|⩽|M{F}_1|$，当 $M,P,F_1$ 三点共线时取得最值，列出直线方程与双曲线方程联立求得点 $P$ 坐标。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 记已知两圆分别为 $C_1:(x+\sqrt{5}{)}^2+y^2=4$，$C_2:(x-\sqrt{5}{)}^2+y^2=4$. 其圆心分别为 $F_1(-\sqrt{5},0)$，$F_2(\sqrt{5},0)$，半径均为 $r=2$. 设动圆 $C$ 的圆心为 $P(x,y)$，半径为 $R$. 依题意，圆 $C$ 与圆 $C_1,C_2$ 一个内切、另一个外切，分两种情况： ① 若圆 $C$ 与圆 $C_1$ 内切，且与圆 $C_2$ 外切： 此时 $|P{F}_1|=R-2$ 或 $2-R$，$|P{F}_2|=R+2$. 因 $|P{F}_2|>|P{F}_1|$，故 $|P{F}_2|-|P{F}_1|=(R+2)-(R-2)=4$（当 $R⩾2$ 时） 或 $(R+2)-(2-R)=2R<4$（舍去，因两圆心距离 $|F_1{F}_2|=2\sqrt{5}>4$）. 此时 $|P{F}_2|-|P{F}_1|=4$. ② 若圆 $C$ 与圆 $C_2$ 内切，且与圆 $C_1$ 外切： 同理可得 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=4$.

综合可知，动点 $P$ 满足： $||P{F}_1|-|P{F}_2||=4$. 根据双曲线定义，动点 $P$ 的轨迹是以 $F_1(-\sqrt{5},0)$，$F_2(\sqrt{5},0)$ 为焦点的双曲线. 其中 $2a=4⟹a=2$，$c=\sqrt{5}$，则 $b^2=c^2-a^2=5-4=1$. 故圆心轨迹 $L$ 的方程为： $\frac{x^2}{4}-y^2=1.$

(2) 由题意知，$F(\sqrt{5},0)$ 为双曲线的右焦点，设左焦点为 $F^{\prime }(-\sqrt{5},0)$. 点 $M\left(\frac{3\sqrt{5}}{5},\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)$ 代入双曲线式子： $\frac{{\left(\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)}^2}{4}-{\left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)}^2=\frac{\frac{9}{5}}{4}-\frac{16}{5}=\frac{9}{20}-\frac{64}{20}=-\frac{11}{4}<1,$ 可知点 $M$ 位于双曲线两支之间.

由双曲线定义： 若 $P$ 在双曲线右支上，则 $|PF|=|P{F}^{\prime }|-4$， 从而 $|MP|-|FP|=|MP|-(|P{F}^{\prime }|-4)=|MP|-|P{F}^{\prime }|+4$. 在 $△MP{F}^{\prime }$ 中，由三角形两边之差小于第三边，有： $|MP|-|P{F}^{\prime }|⩽|M{F}^{\prime }|$（当且仅当 $P,M,F^{\prime }$ 三点共线且 $M$ 在线段 $P{F}^{\prime }$ 上时取等号，但 $M$ 在两支之间无法取到）； 结合绝对值不等式：$-|M{F}^{\prime }|⩽|MP|-|P{F}^{\prime }|⩽|M{F}^{\prime }|$. 故 $-|M{F}^{\prime }|+4⩽|MP|-|FP|⩽|M{F}^{\prime }|+4$.

若 $P$ 在双曲线左支上，则 $|FP|=|P{F}^{\prime }|+4$， 从而 $|MP|-|FP|=|MP|-(|P{F}^{\prime }|+4)=|MP|-|P{F}^{\prime }|-4$. 同理得 $-|M{F}^{\prime }|-4⩽|MP|-|FP|⩽|M{F}^{\prime }|-4$.

因此，当且仅当 $F^{\prime },M,P$ 三点共线，且点 $P$ 为直线 $M{F}^{\prime }$ 与双曲线的交点时，$||MP|-|FP||$ 取得最大值. 计算 $|M{F}^{\prime }|$： $|M{F}^{\prime }|=\sqrt{{\left(\frac{3\sqrt{5}}{5}-(-\sqrt{5})\right)}^2+{\left(\frac{4\sqrt{5}}{5}-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{8\sqrt{5}}{5}\right)}^2+\frac{80}{25}}=\sqrt{\frac{320+80}{25}}=\sqrt{16}=4.$ 因此： 当 $P$ 在右支时，点 $P$ 位于射线 $F^{\prime }M$ 上，$|MP|-|P{F}^{\prime }|=-|M{F}^{\prime }|=-4$，则 $|MP|-|FP|=-4+4=0$； 当 $P$ 在左支时，点 $P$ 位于射线 $M{F}^{\prime }$ 的反向延长线（即 $F^{\prime }$ 之外）上，此时 $|P{F}^{\prime }|-|MP|=|M{F}^{\prime }|=4⟹|MP|-|P{F}^{\prime }|=-4$， 则 $|MP|-|FP|=-4-4=-8$，此时绝对值为 $|-8|=8$. 故 $||MP|-|FP||$ 的最大值为 $8$.

此时点 $P$ 满足 $P,F^{\prime },M$ 共线，且点 $P$ 在双曲线左支上. 求直线 $M{F}^{\prime }$ 的方程： 直线经过点 $F^{\prime }(-\sqrt{5},0)$ 与 $M\left(\frac{3\sqrt{5}}{5},\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)$， 其斜率 $k=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}-0}{\frac{3\sqrt{5}}{5}-(-\sqrt{5})}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{8\sqrt{5}}{5}}=\frac{1}{2}$. 故直线方程为 $y=\frac{1}{2}(x+\sqrt{5})$，即 $x=2y-\sqrt{5}$.

代入双曲线方程 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$： $\frac{(2y-\sqrt{5}{)}^2}{4}-y^2=1⟹\frac{4y^2-4\sqrt{5}y+5}{4}-y^2=1$ $y^2-\sqrt{5}y+\frac{5}{4}-y^2=1⟹-\sqrt{5}y+\frac{5}{4}=1⟹\sqrt{5}y=\frac{1}{4}⟹y=\frac{\sqrt{5}}{20}.$ 代入 $x=2y-\sqrt{5}$： $x=2\left(\frac{\sqrt{5}}{20}\right)-\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{10}-\sqrt{5}=-\frac{9\sqrt{5}}{10}.$

检验：$x=-\frac{9\sqrt{5}}{10}<-2$，确在双曲线左支上. 综上，$||MP|-|FP||$ 的最大值为 $8$，此时点 $P$ 的坐标为 $\left(-\frac{9\sqrt{5}}{10},\frac{\sqrt{5}}{20}\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆与圆的位置关系（内切 $d=|R-r|$，外切 $d=R+r$）；双曲线的第一定义；三角不等式求几何最值。
• 核心方法：
• 将焦半径差转化为几何长度；
• 利用点在双曲线左/右两支时的定义差异分类讨论；
• 利用“三点共线时取最值”确定极值点并求交点。
• 避坑指南：
• 第 (1) 问若直接联立方程化简极易出错，必须优先利用几何几何性质转化为圆心到两定点的距离差为常数；
• 第 (2) 问求绝对值 $||MP|-|FP||$ 时，注意左支和右支符号不同，最大值在左支取到而不是右支，容易漏判分支导致极值算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源： 源于阿波罗尼奥斯圆相切问题与圆锥曲线的古典几何定义。属于高考圆锥曲线小题、中档大题中考查“定义转化与几何最值”的经典模型。

• 结论推广： 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，两焦点为 $F_1,F_2$，点 $M$ 为平面内一定点，动点 $P$ 在双曲线上：
• 目标代数式含有 $|MP|\pm |P{F}_i|$ 时，均可通过双曲线定义 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=\pm 2a$ 转化为关于同一焦点 $F_j$ 与定点 $M$ 的距离差或和；
• 再利用三角形三边关系 $||MP|-|P{F}_j||⩽|M{F}_j|$，当且仅当 $M,P,F_j$ 三点共线时取得极值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义
• 1987-全国卷理-13 填-点到直线的距离
• 1994-全国卷理-08