2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义

本题导读

本题考查双曲线，以及双曲线的定义。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 设 $F_1,F_2$ 是双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的两个焦点，$P$ 是 $C$ 上一点.若 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=6a$，且 $△P{F}_1{F}_2$ 的最小内角为 $30^{\circ }$，则 $C$ 的离心率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求焦半径长度：
   • 根据双曲线定义：$||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$。
   • 结合已知条件：$|P{F}_1|+|P{F}_2|=6a$。
   • 联立方程组可求得 $|P{F}_1|$ 和 $|P{F}_2|$ 的值。
2. 确定最小角的位置：
   • 在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，三边长分别为 $|P{F}_1|,|P{F}_2|,|F_1{F}_2|=2c$。
   • 由于离心率 $e=\frac{c}{a}>1$，通过比对三边长度，利用“小边对小角”确定 $30^{\circ }$ 所对的边。
3. 建立等量关系：
   • 对最小角应用余弦定理，得到关于 $a$ 和 $c$ 的齐次方程。
   • 化简方程求得 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算焦半径 不妨设 $|P{F}_1|>|P{F}_2|$，根据双曲线定义及已知条件： $\{\begin{array}{l}|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a\\ |P{F}_1|+|P{F}_2|=6a\end{array}$ 解得：$|P{F}_1|=4a$，$|P{F}_2|=2a$。

第二步：判定最小角及其对边 在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，已知两边为 $4a$ 和 $2a$，第三边为 $2c$。 因为双曲线中 $c>a⟹2c>2a$，即 $2c>|P{F}_2|$。 又由三角形两边之和大于第三边知 $2a+4a>2c⟹2c<6a$。 在 $|P{F}_1|=4a,|P{F}_2|=2a,|F_1{F}_2|=2c$ 三边中，$2a$ 可知是最小边（或与 $2c$ 比较，若 $2c$ 为最小边则 $e<1$ 矛盾）。 故最小角 $30^{\circ }$ 对应的边为 $|P{F}_2|=2a$，即 $\angle P{F}_1{F}_2=30^{\circ }$。

第三步：应用余弦定理求解 在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，已知 $\angle P{F}_1{F}_2=30^{\circ }$，根据余弦定理： $|P{F}_2{|}^2=|P{F}_1{|}^2+|F_1{F}_2{|}^2-2|P{F}_1|\cdot |F_1{F}_2|\cos 30^{\circ }$ $(2a{)}^2=(4a{)}^2+(2c{)}^2-2(4a)(2c)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $4a^2=16a^2+4c^2-8\sqrt{3}ac$ 整理得： $4c^2-8\sqrt{3}ac+12a^2=0$ 两边同时除以 $4a^2$： ${\left(\frac{c}{a}\right)}^2-2\sqrt{3}\left(\frac{c}{a}\right)+3=0$ 即 $e^2-2\sqrt{3}e+3=0$。

第四步：求离心率 观察方程 $(e-\sqrt{3}{)}^2=0$。 解得：$e=\sqrt{3}$。

故答案为：$\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：计算过程中注意 $2c$ 是整体作为三角形的一条边，平方时应为 $4c^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理在焦点三角形中的应用。

结论推广：焦点三角形面积公式 $S=\frac{b^2}{\tan \frac{\theta }{2}}$（$\theta$ 为顶角）。

方法推广：若题目给出的是最大角，则对应边通常为 $2c$ 或长焦半径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-23 解-双曲线新定义
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线