2011-新课标卷理-08 单-定积分

本题导读

本题考查二项式定理，以及展开式各标项系数之和。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)）

$\left(x+\frac{a}{x}\right){\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^5$ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 ()

A. $-40$　　　　　　B. $-20$　　　　　　C. 20　　　　　　D. 40

🔍【思路分析】

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1. 利用赋值法令 $x=1$，求出参数 $a$ 的值。

2. 分别求乘积两部分对应的展开乘积：左式取 $x$ 时与右式的 $\frac{1}{x}$ 项相乘；左式取 $\frac{a}{x}$ 时与右式的 $x$ 项相乘。

3. 两部分所得常数相加即为最终展开式的常数项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

令 $x=1$，展开式中各项系数的和为：

$\left(1+\frac{a}{1}\right){\left(2\times 1-\frac{1}{1}\right)}^5=(1+a)(1{)}^5=1+a$

已知各项系数和为 2，故：

$1+a=2⟹a=1$

原式为 $\left(x+\frac{1}{x}\right){\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^5$。

对于 ${\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^5$，其二项展开式通项为：

$T_{r+1}={\text{C}}_5^r(2x{)}^{5-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r=(-1{)}^r{\text{C}}_5^r{2}^{5-r}{x}^{5-2r}$

要构成乘积的常数项：

• 第一部分：用左式的 $x$ 乘以右式展开式中含 $x^{-1}$ 的项：

令 $5-2r=-1⟹2r=6⟹r=3$。

该项为 $x\cdot \left[(-1{)}^3{\text{C}}_5^3{2}^{5-3}{x}^{-1}\right]=1\times (-1)\times 10\times 4=-40$。

• 第二部分：用左式的 $\frac{1}{x}$ 乘以右式展开式中含 $x^1$ 的项：

令 $5-2r=1⟹2r=4⟹r=2$。

该项为 $\frac{1}{x}\cdot \left[(-1{)}^2{\text{C}}_5^2{2}^{5-2}{x}^1\right]=1\times 1\times 10\times 8=80$。

将两部分相加，常数项为：

$-40+80=40$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：赋值法求系数和、乘积型二项式展开的常数项计算。

• 核心方法：

• 求多项式展开各项系数和，直接令自变量取 1；

• 拆项匹配：$x\cdot x^{-1}$ 与 $x^{-1}\cdot x$ 组合。

• 避坑指南：二项式通项中包含负号 $(-1{)}^r$，展开时极易遗漏符号导致计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修2-3二项式定理的经典双因式展开配凑题。

• 结论推广：对 $(Ax+B{x}^{-1})(Cx+D{x}^{-1}{)}^n$，常数项为 $A\cdot [x^{-1}\text{项}]+B\cdot [x^1\text{项}]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2005-天津卷理-11 填-二项式定理

• 2005-湖北卷理-14 填-二项式定理

• 2008-江西卷文-08 单-二项式定理常数项