2008-江西卷文-08 单-二项式定理常数项

本题导读

$(1+x{)}^{10}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{10}={\left(\frac{(1+x{)}^2}{x}\right)}^{10}=(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^{20}$，常数项即中间项.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） $(1+x{)}^{10}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{10}$ 展开式中的常数项为()

A. $1$　　　　　B. ${\left({\mathrm{C}}_{10}^1\right)}^2$　　　　　C. ${\mathrm{C}}_{20}^1$　　　　　D. ${\mathrm{C}}_{20}^{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

合并为 ${\left(x+\frac{1}{x}+2\right)}^{10}={\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{20}$；通项含 $x^{\frac{20-r}{2}-\frac{r}{2}}=x^{10-r}$，常数项取 $r=10$：${\mathrm{C}}_{20}^{10}$.

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

$(1+x{)}^{10}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{10}={\left[(1+x)\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}^{10}={\left(x+\frac{1}{x}+2\right)}^{10}$. 而 $x+\frac{1}{x}+2={\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2$，故原式 $={\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{20}$. 其通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_{20}^r{x}^{\frac{20-r}{2}}{x}^{-\frac{r}{2}}={\mathrm{C}}_{20}^r{x}^{10-r}$. 令 $10-r=0$，得 $r=10$，常数项为 ${\mathrm{C}}_{20}^{10}$，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理中的常数项

核心方法：写通项令 $x$ 的指数为 0 解 $r$，对应组合数即常数项

避坑指南：常数项要求幂次恰为 0，$r$ 须为 $$\begin{gathered} 0 \\ simn \end{gathered}$$ 的整数；若解不出整数说明问的是别的项，回头查指数计算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式常数项与特定项（2009 四川文 14、2010 四川文 13）

结论推广：推广到三项式或求最大系数项

方法推广：通项令指数为零解 $r$，是求常数项的唯一入口

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
• 2010-四川卷文-13 填-二项式常数项
• 2012-上海卷文-08 填-二项展开式常数项
• 2010-重庆卷文-01 单-二项式定理特定项