2011-新课标卷理-09 单-定积分

本题导读

本题考查定积分的几何意义，以及平面图形的面积计算。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)）

由曲线 $y=\sqrt{x}$，直线 $y=x-2$ 及 $y$ 轴所围成的图形的面积为 ()

A. $\frac{10}{3}$　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. $\frac{16}{3}$　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立曲线 $y=\sqrt{x}$ 与直线 $y=x-2$ 求出交点坐标。

2. 画出草图，确定围成图形的边界：曲线 $y=\sqrt{x}$、直线 $y=x-2$ 及 $y$ 轴（$x=0$）。

3. 选择对 $y$ 积分更为简捷，确定积分区间并列出定积分表达式求解。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

联立曲线与直线方程：

$\{\begin{array}{l}y=\sqrt{x}\\ y=x-2\end{array}⟹y=y^2-2⟹y^2-y-2=0(y⩾0)$

解得 $y=2$（负根 $y=-1$ 舍去）。

对应交点坐标为 $(4,2)$。

在平面直角坐标系中分析图形边界：

• 曲线为 $x=y^2$；

• 直线为 $x=y+2$；

• 左侧边界为 $y$ 轴（$x=0$）；

• 直线 $y=x-2$ 与 $y$ 轴交点为 $(0,-2)$；曲线 $y=\sqrt{x}$ 与 $y$ 轴交点为 $(0,0)$。

选择沿 $y$ 轴进行定积分，积分变量 $y$ 的取值范围从 $-2$ 到 $2$：

• 当 $y\in [-2,0]$ 时，图形由直线 $x=y+2$ 与 $y$ 轴围成（三角形区域），面积为 $\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$；

• 当 $y\in [0,2]$ 时，图形右边界为直线 $x=y+2$，左边界为抛物线 $x=y^2$。

因此所求总面积为：

$S={\int }_{-2}^0(y+2)\text{d}y+{\int }_0^2\left[(y+2)-y^2\right]\text{d}y$

也可以合并写作对 $y$ 的单段积分（因在 $[-2,0]$ 上 $x$ 从 0 到 $y+2$）：

$S={\int }_{-2}^2(y+2)\text{d}y-{\int }_0^2{y}^2\text{d}y$

分别计算积分：

${\int }_{-2}^2(y+2)\text{d}y={\left[\frac{1}{2}{y}^2+2y\right]}_{-2}^2=(2+4)-(2-4)=8$

${\int }_0^2{y}^2\text{d}y={\left[\frac{1}{3}{y}^3\right]}_0^2=\frac{8}{3}$

所以：

$S=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面曲边梯形与三角形组合图形的面积、定积分计算。

• 核心方法：沿 $y$ 轴积分（$y$ 型区域）能避免沿 $x$ 轴积分时在 $x=2$ 处繁琐的分段（若对 $x$ 积分需分 $[0,2]$ 和 $[2,4]$ 讨论）。

• 避坑指南：必须注意左边界是 $y$ 轴（$x=0$），直线在第四象限的部分包含在围成图形内，切勿漏算第四象限的三角形面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：教材关于微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）在几何面积计算中的典型应用。

• 结论推广：在求包含抛物线 $x=g(y)$ 的平面区域面积时，优先采用 $\int [x_{\text{右}}(y)-x_{\text{左}}(y)]\text{d}y$ 的形式往往大幅降低计算量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2000-新课标理-08 单-定积分的几何意义

• 2013-湖北卷理-07 单-定积分的几何意义与物理意义

• 2005-湖南卷理-15 填-定积分的几何意义