2013-湖北卷理-07 单-定积分的几何意义与物理意义

本题导读

本题考查定积分，以及定积分的几何意义与物理意义。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 $v(t)=7-3t+\frac{25}{1+t}$（$t$ 的单位：$s$，$v$ 的单位：$m/s$）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：$m$）是()

A. $1+25\ln 5$　　B. $8+25\ln \frac{11}{3}$　　C. $4+25\ln 5$　　D. $4+50\ln 2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定积分上限：汽车停止时速度为 $0$，即令 $v(t)=0$，解出时间 $t$。
2. 建立积分模型：根据物理意义，位移 $s={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$。本题中是从刹车时刻 $t=0$ 到停止时刻。
3. 计算原函数：利用基本积分表，求出 $7-3t+\frac{25}{1+t}$ 的原函数。
4. 代入求值：应用牛顿-莱布尼茨公式得到最终结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求汽车停止时刻 $t$ 令 $v(t)=7-3t+\frac{25}{1+t}=0$。 方程两边同乘以 $(1+t)$ 得： $(7-3t)(1+t)+25=0$ $7+7t-3t-3t^2+25=0⟹-3t^2+4t+32=0$ $3t^2-4t-32=0$ 利用因式分解：$(t-4)(3t+8)=0$。 解得 $t_1=4$，$t_2=-\frac{8}{3}$（舍去）。 所以汽车从刹车到停止经历了 $4$ 秒。

第二步：计算行驶距离 $s$ 距离 $s$ 等于速度 $v(t)$ 在 $[0,4]$ 上的定积分： $s={\int }_0^4\left(7-3t+\frac{25}{1+t}\right)dt$

第三步：求原函数并代入 原函数为 $F(t)=7t-\frac{3}{2}{t}^2+25\ln (1+t)$。 根据牛顿-莱布尼茨公式： $s={\left[7t-\frac{3}{2}{t}^2+25\ln (1+t)\right]}_0^4$ $s=\left(7\times 4-\frac{3}{2}\times 4^2+25\ln (1+4)\right)-\left(0-0+25\ln 1\right)$ $s=(28-24+25\ln 5)-0=4+25\ln 5$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定积分在物理变速直线运动中的位移求解。 2. 核心公式：$\int \frac{1}{x+a}dx=\ln |x+a|+C$。

核心方法：见详细解析

避坑指南：- 求停止时间时，方程整理为二次方程，解出的负值务必舍去。 - 积分下限是 $0$ 而非 $1$，注意代入下限时 $\ln 1=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：变力做功、定积分的几何意义（曲边梯形面积）。

结论推广：变力做功 $W={\int }_{s_1}^{s_2}F(s)ds$ 也采用类似的定积分模型。

方法推广：若要求刹车时的加速度，则需对 $v(t)$ 求导，$a(t)=v^{\prime }(t)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-01 单-复数几何意义
• 2013-江西卷文-01 单-复数几何意义