2011-新课标卷理-11 单-三角函数

本题导读

本题考查辅助角公式，以及三角函数的周期与奇偶性。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 设函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )+\cos (\omega x+\phi )\left(\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}\right)$ 的最小正周期为 $\pi$，且 $f(-x)=f(x)$，则 ()

A. $f(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 单调递减　　　　B. $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right)$ 单调递减

C. $f(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 单调递增　　　　D. $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right)$ 单调递增

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用辅助角公式将 $f(x)$ 化简为单个正弦（或余弦）函数。
2. 由周期 $T=\pi$ 求得 $\omega$；由偶函数性质 $f(0)=\pm \sqrt{2}$ 结合 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 求出初相 $\phi$。
3. 确定具体解析式后，代入各选项区间检验单调性。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

利用辅助角公式化简： $f(x)=\sqrt{2}\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (\omega x+\phi )+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos (\omega x+\phi )\right]=\sqrt{2}\cos \left(\omega x+\phi -\frac{\pi }{4}\right)$ （或化为 $\sqrt{2}\sin \left(\omega x+\phi +\frac{\pi }{4}\right)$）。 因为函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$，所以： $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =2$ 因为 $f(-x)=f(x)$ 为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称，在 $x=0$ 处取得最值， 故必有： $\phi -\frac{\pi }{4}=k\pi (k\in \mathbf{Z})⟹\phi =k\pi +\frac{\pi }{4}$ 因为 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，取 $k=0$，解得： $\phi =\frac{\pi }{4}$ 所以函数的解析式为： $f(x)=\sqrt{2}\cos (2x)$ 分析其单调性： 当 $x\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right)$ 时， $2x\in \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$ 在区间 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 上，$\cos (2x)$ 单调递减；在区间 $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 上，$\cos (2x)$ 单调递增，故排除 B、D。 当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时， $2x\in (0,\pi )$ 由于余弦函数 $y=\cos u$ 在 $(0,\pi )$ 上单调递减， 所以 $f(x)=\sqrt{2}\cos (2x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递减。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：$a\sin x+b\cos x$ 辅助角整合、偶函数极值点性质、余弦型复合函数的单调性。
• 核心方法：
• 偶函数在 $x=0$ 处必达到极值点，化为余弦形式 $\cos (2x+\theta )$ 时可直接令初相 $\theta =0$；
• 整体代换法求单调区间。
• 避坑指南：化简成余弦形式比化成正弦形式更容易直接利用偶函数初相为 0 的条件；注意不要弄反余弦函数的增减区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修四三角恒等变换与函数图象性质的经典压轴选择题。
• 结论推广：函数 $f(x)=A\cos (\omega x+\varphi )$ 为偶函数 $⟺\varphi =k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）；为奇函数 $⟺\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$（$k\in \mathbf{Z}$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1993-新高考理-01
• 1996-全国卷理-06
• 2000-广东卷理-17 解-两角和与差的正弦公式