2007-四川卷理-16 填-三角函数单调性

本题导读

本题是一道综合性较强的三角函数与基本初等函数性质辨析题。考查的核心意图在于测试学生对三角函数恒等变换、终边相同角的集合表示、函数图象交点个数判定、图象平移变换规律（左加右减）以及三角函数单调性的熟练掌握程度与严谨审题能力。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 下面有五个命题： ① 函数 $y={\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x$ 的最小正周期是 $\pi$； ② 终边在 $y$ 轴上的角的集合是 $\left\{\alpha |\alpha =\frac{k\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$； ③ 在同一坐标系中，函数 $y=\sin x$ 的图象和函数 $y=x$ 的图象有三个公共点； ④ 把函数 $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 得到 $y=3\sin 2x$ 的图象； ⑤ 函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$ 在 $[0,\pi ]$ 上是减函数. 其中真命题的序号是$\underline{}$。（写出所有）

🔍【思路分析】

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1. 对①进行平方差公式因式分解并利用二倍角公式化简，进而求出周期；
2. 根据终边在 $y$ 轴上的角的实际表达式与所给集合进行比对；
3. 利用图象法或导数工具分析 $y=\sin x$ 与 $y=x$ 在全局范围内的交点个数；
4. 运用“左加右减”且只针对自变量 $x$ 自身进行替换的原则验证平移结果；
5. 利用诱导公式化简函数解析式，再判断其在指定区间 $[0,\pi ]$ 上的单调性。

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真命题的序号是 ①④

✍【详细解析】

Abstract

解： 对于①： $y={\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=-\cos 2x$ 其最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$，故①为真命题。

对于②： 终边在 $y$ 轴上的角的集合应为 $\left\{\alpha |\alpha =\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$。而集合 $\left\{\alpha |\alpha =\frac{k\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$ 当 $k$ 取偶数时终边在 $x$ 轴上，故②为假命题。

对于③： 设 $f(x)=x-\sin x$，则 $f^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$。 所以 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。又 $f(0)=0$， 因此方程 $x-\sin x=0$ 有且仅有唯一实根 $x=0$。 即两函数图象只有一公共点 $(0,0)$，故③为假命题。

对于④： 将 $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$，需将解析式中的 $x$ 替换为 $x-\frac{\pi }{6}$： $y=3\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{3}\right]=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)=3\sin 2x$ 所得解析式成立，故④为真命题。

对于⑤： $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$ 当 $x\in [0,\pi ]$ 时，$\cos x$ 单调递减，则 $-\cos x$ 单调递增。 所以该函数在 $[0,\pi ]$ 上是增函数，故⑤为假命题。

综上所述，真命题的序号是 ①④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换（二倍角与平方差）、三角函数的周期性、单调性与图象平移变换。
2. 核心方法：

• 变换解析式时坚持“见方化倍角，见异化同名”。
• 图像平移严格遵循“只对 $x$ 变，平移多少减（加）多少”的原则。

3. 避坑指南：

• 易错点②：误认为 $\frac{k\pi }{2}$ 即代表 $y$ 轴，忽略了 $k$ 为偶数时终边落在 $x$ 轴上的情况。
• 易错点④：平移时容易错误地将平移量直接作用在整个未知数项上（如误写为 $2x-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}$），必须加括号作用于自变量 $x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由课本中各章节（三角函数、函数与方程）的基础练习题、概念辨析题组合改编而成的综合多选题，旨在全面覆盖并检测考生的概念无盲区掌握。
2. 结论推广：对于形如 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象平移，若向右平移 $a$ 个单位，解析式变为 $y=A\sin [\omega (x-a)+\phi ]$；若向左平移 $a$ 个单位，解析式变为 $y=A\sin [\omega (x+a)+\phi ]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷理-11 单-三角函数
• 2018-全国卷I理-10 单-几何概型