2011-新课标卷理-16 填-两角和

本题导读

本题考查正弦定理，以及三角恒等变换。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$B=60^{\circ }$，$AC=\sqrt{3}$，则 $AB+2BC$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记 $AC=b=\sqrt{3},AB=c,BC=a$。由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=2R$ 求出外接圆直径 $2R=2$。
2. 将边 $c$ 和 $a$ 分别用角 $A$ 的正弦函数表示：$c=2\sin C=2\sin (120^{\circ }-A)$，$a=2\sin A$。
3. 将 $AB+2BC=c+2a$ 转化为关于角 $A$ 的单三角函数表达式，利用辅助角公式求出最大值。

✅【答案】

点击查看答案

$2\sqrt{7}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，$B=60^{\circ }$，$b=AC=\sqrt{3}$。 由正弦定理： $\frac{b}{\sin B}=2R⟹\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$ 故： $a=BC=2R\sin A=2\sin A$ $c=AB=2R\sin C=2\sin C$ 因为 $A+B+C=180^{\circ }$，$B=60^{\circ }$，所以 $C=120^{\circ }-A$，其中 $A\in (0^{\circ },120^{\circ })$。 代入待求代数式： $AB+2BC=c+2a=2\sin (120^{\circ }-A)+4\sin A$ 展开并整理： $2(\sin 120^{\circ }\cos A-\cos 120^{\circ }\sin A)+4\sin A=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A+\frac{1}{2}\sin A\right)+4\sin A$ $=\sqrt{3}\cos A+\sin A+4\sin A=5\sin A+\sqrt{3}\cos A$ 由辅助角公式化简： $5\sin A+\sqrt{3}\cos A=\sqrt{5^2+(\sqrt{3}{)}^2}\sin (A+\phi )=\sqrt{25+3}\sin (A+\phi )=\sqrt{28}\sin (A+\phi )=2\sqrt{7}\sin (A+\phi )$ 其中 $\tan \phi =\frac{\sqrt{3}}{5}$，$\phi$ 为第一象限锐角。 因为 $A\in (0,120^{\circ })$，且 $\tan \phi =\frac{\sqrt{3}}{5}<\frac{\sqrt{3}}{3}⟹0<\phi <30^{\circ }$， 所以当 $A+\phi =90^{\circ }$ 时，$A=90^{\circ }-\phi \in (60^{\circ },90^{\circ })\subset (0,120^{\circ })$， 此时 $\sin (A+\phi )$ 可以取得最大值 1。 因此，$AB+2BC$ 的最大值为： $2\sqrt{7}$ 故答案为：$2\sqrt{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦定理“角化边”转化为单变量三角函数的最值。
• 核心方法：
• 设单变量角 $A$ 将所有未知边统一表达；
• 和差化积/辅助角公式化简为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin (A+\phi )$；
• 检验最值点 $A=90^{\circ }-\phi$ 是否在三角形内角取值区间 $(0,120^{\circ })$ 内。
• 避坑指南：必须验证正弦取 1 时的角 $A$ 是否在三角形实际存在的可行区间内，切勿盲目直接套公式取模长。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：解三角形大题/压轴小题中利用正弦定理求线性边长组合 $m\cdot AB+n\cdot BC$ 最值的经典模型。
• 结论推广：在 $△ABC$ 中若已知对边 $b$ 及对角 $B$，则 $m\cdot c+n\cdot a=\frac{b}{\sin B}\sqrt{m^2+n^2-2mn\cos (180^{\circ }-B)}\sin (A+\theta )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-17 解-三角变换与解三角形
• 2009-江西卷理-04
• 2010-山东卷理-15