2011-新课标卷理-19 解-独立性检验

本题导读

本题考查频数分布表与频率。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为 $A$ 配方和 $B$ 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果：

$A$ 配方的频数分布表：

指标值分组	$[90,94)$	$[94,98)$	$[98,102)$	$[102,106)$	$[106,110]$
频数	8	20	42	22	8

$B$ 配方的频数分布表：

指标值分组	$[90,94)$	$[94,98)$	$[98,102)$	$[102,106)$	$[106,110]$
频数	4	12	42	32	10

(1) 分别估计用 $A$ 配方，$B$ 配方生产的产品的优质品率；

(2) 已知用 $B$ 配方生产一件产品的利润 $y$（单位：元）与其质量指标值 $t$ 的关系式为 $y=\{\begin{array}{ll}-2,& t<94\\ 2,& 94⩽t<102\\ 4,& t⩾102\end{array}$.从用 $B$ 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 $X$（单位：元），求 $X$ 的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对 (1)：优质品的条件为指标值 $t⩾102$，对应区间为 $[102,106)$ 与 $[106,110]$。分别统计 $A$ 配方与 $B$ 配方在此两组的频数之和，除以样本容量 100 得到频率，用以估计优质品率。
2. 对 (2)：根据利润函数表达式，确定随机变量 $X$ 的可能取值为 $-2,2,4$。利用 $B$ 配方对应区间的频率求出相应概率，列出分布列并计算数学期望 $E(X)$。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品。 用 $A$ 配方生产的 100 件产品中，优质品的频数为 $22+8=30$。 所以用 $A$ 配方生产的产品优质品率的估计值为： $\frac{30}{100}=0.3$ 用 $B$ 配方生产的 100 件产品中，优质品的频数为 $32+10=42$。 所以用 $B$ 配方生产的产品优质品率的估计值为： $\frac{42}{100}=0.42$

(2) 由已知，随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $-2,2,4$。 由 $B$ 配方的频数分布表可知：

• 当 $t<94$（即落在 $[90,94)$ 内）时，频数为 4， $P(X=-2)=\frac{4}{100}=0.04$
• 当 $94⩽t<102$（即落在 $[94,98)$ 与 $[98,102)$ 内）时，频数为 $12+42=54$， $P(X=2)=\frac{54}{100}=0.54$
• 当 $t⩾102$（即落在 $[102,106)$ 与 $[106,110]$ 内）时，频数为 $32+10=42$， $P(X=4)=\frac{42}{100}=0.42$ 所以 $X$ 的分布列为：

$X$	$-2$	2	4
$P$	0.04	0.54	0.42

数学期望为： $E(X)=(-2)\times 0.04+2\times 0.54+4\times 0.42=-0.08+1.08+1.68=2.68\text{（元）}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：频数分布表的读取与区间合并、频率估计概率、离散型随机变量期望。
• 核心方法：
• 关注指标值切分点 $94$ 和 $102$，将对应组频数相加；
• 分布列概率总和必须自验（$0.04+0.54+0.42=1$）。
• 避坑指南：第 (2) 问审题明确是使用“$B$ 配方”的数据，切勿混用 $A$ 配方的频数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自工农业质量检测中的抽样检验与期望利润决策模型。
• 结论推广：对于分段离散收益模型 $Y=g(T)$，若连续变量 $T$ 划分为互斥区间 $A_k$，则 $E(Y)=\sum g_k\cdot P(T\in A_k)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2008-大纲卷I理-20
• 2008-福建卷理-20