2011-新课标卷理-22 解-圆

本题导读

本题考查割线定理及其逆定理。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 如图，$D,E$ 分别为 $△ABC$ 的边 $AB,AC$ 上的点，且不与 $△ABC$ 的顶点重合.已知 $AE$ 的长为 $m$，$AC$ 的长为 $n$，$AD,AB$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^2-14x+mn=0$ 的两个根.

(1) 证明：$C,B,D,E$ 四点共圆；

(2) 若 $\angle A=90^{\circ }$，且 $m=4,n=6$，求 $C,B,D,E$ 所在圆的半径.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：利用韦达定理得两根之积 $AD\cdot AB=mn$。结合已知 $AE\cdot AC=mn$，得 $AD\cdot AB=AE\cdot AC$，即 $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。结合公共角 $\angle A$ 证得 $△ADE\sim △ACB$，由外角等于内对角判定四点共圆。
2. 对 (2)：代入 $m=4,n=6$，解二次方程求得 $AD,AB$ 的长；在 $\text{Rt}△ABE$ 中求出弦长 $BE$，结合 $\text{Rt}△ABC$ 中角 $C$ 的正弦值，由正弦定理 $2R=\frac{BE}{\sin \angle BDE}$ 求出四点所在圆的半径。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $AD,AB$ 的长是方程 $x^2-14x+mn=0$ 的两个根， 由根与系数的关系（韦达定理）得： $AD\cdot AB=mn$ 又因为 $AE=m$，$AC=n$，所以： $AE\cdot AC=mn$ 因此： $AD\cdot AB=AE\cdot AC⟺\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$ 在 $△ADE$ 和 $△ACB$ 中，$\angle DAE=\angle CAB$， 所以 $△ADE\sim △ACB$。 从而有： $\angle ADE=\angle C$ 因为 $\angle ADE+\angle BDE=180^{\circ }$，所以： $\angle BDE+\angle C=180^{\circ }$ 即四边形 $BCDE$ 的一组对角互补。 因此，$C,B,D,E$ 四点共圆。

(2) 当 $m=4,n=6$ 时，方程为： $x^2-14x+24=0⟹(x-2)(x-12)=0$ 解得 $x_1=2,x_2=12$。 因为 $D$ 为边 $AB$ 上不与顶点重合的点，所以 $AD<AB$。 因此： $AD=2,AB=12$ 已知 $AE=4,AC=6$，且 $\angle A=90^{\circ }$。 在 $\text{Rt}△ABE$ 中： $BE=\sqrt{A{B}^2+A{E}^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$ 在 $\text{Rt}△ABC$ 中： $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$ $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ 由 (1) 知，$C,B,D,E$ 四点共圆，该圆即为 $△BDE$ 的外接圆。 设该圆的半径为 $R$。 因为 $\angle BDE=180^{\circ }-\angle ADE=180^{\circ }-C$， 所以： $\sin \angle BDE=\sin (180^{\circ }-C)=\sin C=\frac{2}{\sqrt{5}}$ 在 $△BDE$ 中，由正弦定理得： $2R=\frac{BE}{\sin \angle BDE}=\frac{4\sqrt{10}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=2\sqrt{10}\times \sqrt{5}=2\sqrt{50}=10\sqrt{2}$ 所以： $R=5\sqrt{2}$ 故 $C,B,D,E$ 所在圆的半径为 $5\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：代数韦达定理转化为几何比例积（割线定理逆定理模型）、正弦定理求解外接圆半径。
• 核心方法：
• 乘积等式 $AD\cdot AB=AE\cdot AC$ 是典型的相交弦/割线定理逆命题，可直接通过三角形相似推导对角互补；
• 第 (2) 问求外接圆半径，抓住圆上任意一个内接三角形（如 $△BDE$），直接利用正弦定理 $2R=\frac{a}{\sin A}$ 秒解；也可以以 $A$ 为原点建系设圆的一般方程求解。
• 避坑指南：解方程得两根 2 和 12，切记根据点 $D$ 在线段 $AB$ 上结合图形确定 $AD=2$，$AB=12$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版选修4-1《几何证明选讲》中圆内接四边形性质与割线定理的经典综合题。
• 结论推广：从同一点引出的两条射线若截得两对线段满足乘积相等（$P{A}_1\cdot P{A}_2=P{B}_1\cdot P{B}_2$），则这四个端点必共圆（割线定理逆定理）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-22 解-弦切角定理
• 2013-湖北卷理-15 填-圆的性质
• 2014-重庆卷理-14 填-切割线定理