2014-重庆卷理-14 填-切割线定理

本题导读

本题是平面几何选讲部分的典型题目，考查圆的切割线定理及相似三角形的应用。解题关键在于先通过切割线定理求出未知线段长度，再利用弦切角定理识别相似三角形进行比例求解。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 过圆外一点 $P$ 作圆的切线 $PA$（$A$ 为切点），再作割线 $PBC$ 分别交圆于 $B,C$.若 $PA=6,AC=8,BC=9$，则 $AB=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用切割线定理：已知切线 $PA$ 和割线段 $BC$，设 $PB=x$，根据 $P{A}^2=PB\cdot PC$ 建立关于 $x$ 的一元二次方程，求出 $PB$ 的长度。
2. 寻找相似三角形：
   • 观察图形中的 $△PAB$ 和 $△PCA$。
   • 它们共享公共角 $\angle P$。
   • 根据弦切角定理，切线与弦所成的角 $\angle PAB$ 等于它所夹弧所对的圆周角 $\angle PCA$（即 $\angle C$）。
   • 由“两角对应相等”判定 $△PAB\sim △PCA$。
3. 利用相似比求解：根据相似三角形对应边成比例，列出包含待求线段 $AB$ 的比例式进行计算。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $PB$ 和 $PC$ 的长度 设 $PB=x$。因为 $BC=9$，所以 $PC=PB+BC=x+9$。 根据切割线定理：$P{A}^2=PB\cdot PC$。 代入数据得：$6^2=x(x+9)$。 整理得：$x^2+9x-36=0$。 解方程：$(x+12)(x-3)=0$。 因为线段长度 $x>0$，所以 $x=3$（舍去 $-12$）。 故 $PB=3,PC=3+9=12$。

第二步：证明三角形相似 在 $△PAB$ 和 $△PCA$ 中：

• $\angle P=\angle P$（公共角）；
• $\angle PAB=\angle PCA$（弦切角定理：切线 $PA$ 与弦 $AB$ 所成角等于弦 $AB$ 所对的圆周角）。 所以 $△PAB\sim △PCA$。

第三步：列比例式求 $AB$ 由相似三角形性质得： $\frac{AB}{CA}=\frac{PA}{PC}$ 代入已知数据： $\frac{AB}{8}=\frac{6}{12}$ $\frac{AB}{8}=\frac{1}{2}$ $AB=4$

故答案为 4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切割线定理与相似三角形。

2. 核心方法：由 $P{A}^2=PB\cdot PC$ 求 $PB$，用 $△PAB\sim △PCA$ 求 $AB$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 切割线定理与弦切角定理。

2. 结论推广: 切线长平方等于割线两段乘积。

3. 方法推广: 圆幂与相似结合求线段长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.06 圆的切线与极点极线
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷文-13 填-切割线定理求弦