2011-江苏卷-19 解-新定义单调性一致

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性，以及新定义（单调性一致）。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 已知 $a$，$b$ 是实数，函数 $f(x)=x^3+ax$，$g(x)=x^2+bx$，$f^{\prime }(x)$ 和 $g^{\prime }(x)$ 分别是 $f(x)$，$g(x)$ 的导函数.若 $f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)⩾0$ 在区间 $I$ 上恒成立，则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $I$ 上单调性一致.

(1) 设 $a>0$，若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[-1,+\infty )$ 上单调性一致，求实数 $b$ 的取值范围；

(2) 设 $a<0$ 且 $a\ne b$，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在以 $a$，$b$ 为端点的开区间上单调性一致，求 $|a-b|$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) $f^{\prime }>0$ 恒成立
2. 步骤2：转化为 $g^{\prime }⩾0$ 在区间上恒成立
3. 步骤3：(2) 特值排除 $b>0$
4. 步骤4：再用零点分布把条件化为端点不等式

✅【答案】

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(1) $b⩾2$

(2) $|a-b|$ 的最大值为 $\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由题意 $f^{\prime }(x)=3x^2+a$，$g^{\prime }(x)=2x+b$。

（1）因为 $a>0$，对任意实数 $x$ 都有 $f^{\prime }(x)=3x^2+a>0$。所以在 $[-1,+\infty )$ 上单调性一致当且仅当 $g^{\prime }(x)=2x+b⩾0$ 对所有 $x⩾-1$ 成立。

$g^{\prime }(x)$ 在该区间上递增，其最小值为 $g^{\prime }(-1)=b-2$，故 $b-2⩾0$，即 $b⩾2$。

（2）记 $r=\sqrt{-\frac{a}{3}}>0$，则 $f^{\prime }(x)>0$ 当 $x<-r$ 或 $x>r$，$f^{\prime }(x)<0$ 当 $-r<x<r$。

若 $b>0$，则 $0$ 在以 $a$，$b$ 为端点的开区间内，且 $f^{\prime }(0)g^{\prime }(0)=ab<0$，与单调性一致矛盾，所以 $b⩽0$。

当 $x<0$ 时 $g^{\prime }(x)=2x+b<0$；而当 $x<-r$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，此时 $f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)<0$。因此区间 $I$ 内不能含有 $(-\infty ,-r)$ 的点，即端点 $a$，$b$ 都不能小于 $-r$：

$a⩾-r$ 且 $b⩾-r$。

由 $a<0$ 及 $a⩾-\sqrt{-\frac{a}{3}}$，令 $u=-a>0$，得 $u⩽\sqrt{\frac{u}{3}}$，解得 $u⩽\frac{1}{3}$，即 $a⩾-\frac{1}{3}$。此时 $r=\sqrt{-\frac{a}{3}}⩽\frac{1}{3}$，所以 $b⩾-r⩾-\frac{1}{3}$。

结合 $a<0$，$b⩽0$，得 $a,b\in \left[-\frac{1}{3},0\right]$，故 $|a-b|⩽\frac{1}{3}$。

取 $a=-\frac{1}{3}$，$b=0$：对 $-\frac{1}{3}<x<0$，$f^{\prime }(x)=3x^2-\frac{1}{3}<0$，$g^{\prime }(x)=2x<0$，故 $f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)>0$，条件成立。

综上，$|a-b|$ 的最大值为 $\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与单调性的关系；区间包含关系的转化；特殊点法限定参数

核心方法：特值法：区间含 $0$ 时 $f^{\prime }(0)g^{\prime }(0)=ab<0$ 迅速排除 $b>0$；再把条件化为 $I\subseteq \left[-r,0\right)$ 型端点约束

避坑指南：题目只说”以 $a$，$b$ 为端点”，未预设 $a<b$，不能先验地按 $a<b$ 处理；负数开方化简 $-a⩽\sqrt{-\frac{a}{3}}$ 平方时不等号方向要注意（两边均为正）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义与导数综合压轴题，与 2013 年江苏卷第 20 题、2012 年江苏卷第 18 题同族。

结论推广：“单调性一致”即导函数乘积在区间上非负；对多项式导函数系统，问题等价于导函数零点的符号区间之间的包含关系。

方法推广：新定义导数题：先把定义翻译成导数不等式，再用特值与反证收缩参数范围，最后构造取等实例确认最值可达。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-20 解-导数单调性与最值
• 2012-江苏卷-18 解-三次函数极值点与零点