2012-江苏卷-18 解-三次函数极值点与零点

本题导读

本题考查导数与极值点。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 若函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值或极小值，则称 $x_0$ 为函数 $y=f(x)$ 的极值点.已知 $a$，$b$ 是实数，$1$ 和 $-1$ 是函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx$ 的两个极值点.

(1) 求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2) 设函数 $g(x)$ 的导函数 $g^{\prime }(x)=f(x)+2$，求 $g(x)$ 的极值点；

(3) 设 $h(x)=f(f(x))-c$，其中 $c\in [-2,2]$，求函数 $y=h(x)$ 的零点个数.

🔍【思路分析】

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$a=0$，$b=-3$；极值点为 $-2$；零点个数当 $-2<c<2$ 时为 $9$，当 $c=\pm 2$ 时为 $5$。

✅【答案】

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(1) $a=0$，$b=-3$；(2) 极值点为 $-2$；(3) 当 $-2<c<2$ 时有 $9$ 个零点，当 $c=-2$ 或 $c=2$ 时有 $5$ 个零点

✍【详细解析】

Abstract

由 $1$ 和 $-1$ 是极值点，得导函数在这两个点处为零。因此 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b=3(x-1)(x+1)=3x^2-3$，比较系数可得 $a=0$，$b=-3$。此时 $f^{\prime }(x)=3(x^2-1)$ 在 $-1$，$1$ 两侧变号，确实对应两个极值点。

（1）$a=0$，$b=-3$。

（2）此时 $f(x)=x^3-3x$，所以 $g^{\prime }(x)=f(x)+2=x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$。当 $x<-2$ 时，$g^{\prime }(x)<0$；当 $-2<x<1$ 或 $x>1$ 时，$g^{\prime }(x)>0$。因此 $g(x)$ 在 $x=-2$ 的左侧递减、右侧递增，$-2$ 是极小值点；虽然 $g^{\prime }(1)=0$，但导函数在 $1$ 两侧不变号，所以 $1$ 不是极值点。故 $g(x)$ 的极值点为 $-2$。

（3）令 $u=f(x)$。函数 $f(u)=u^3-3u$ 在 $u=-1$ 处取得极大值 $2$，在 $u=1$ 处取得极小值 $-2$。当 $-2<c<2$ 时，方程 $f(u)=c$ 有三个互不相同的根，且三个根都在区间 $(-2,2)$ 内。对其中每一个根 $u$，方程 $f(x)=u$ 都有三个互不相同的实根，因此 $f(f(x))=c$ 有 $3\times 3=9$ 个零点。

当 $c=2$ 时，$f(u)-2=u^3-3u-2=(u-2)(u+1{)}^2$，所以 $u$ 有两个不同的取值 $2$，$-1$。方程 $f(x)=2$ 有两个不同的实根，方程 $f(x)=-1$ 有三个不同的实根，共有 $5$ 个零点。当 $c=-2$ 时，$f(u)+2=u^3-3u+2=(u+2)(u-1{)}^2$，同理也有 $2+3=5$ 个零点。

故零点个数为：当 $-2<c<2$ 时为 $9$；当 $c=-2$ 或 $c=2$ 时为 $5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极值点的必要条件与充分条件（变号）；复合方程 $f(f(x))=c$ 的分层计数

核心方法：导数为 0 的根须检验变号才是极值点；复合零点按”外层根 $u$ → 内层根个数”分乘计数

避坑指南：$g^{\prime }(1)=0$ 但 $1$ 不是极值点（不变号）；$c=\pm 2$ 时外层出现重根使总数从 $9$ 降为 $5$，按 $9$ 一刀切是本题最大的坑。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数极值与复合零点题，与 2012 年大纲卷文第 21 题、2012 年北京卷文第 5 题同族。

结论推广：$f(x)=x^3-3x$ 是”极大值 $2$、极小值 $-2$“的标准模型，$f(f(x))=c$ 的零点个数分层为 $3\times 3$ 或 $2+3$；一般三次函数的复合零点问题都可按此分层。

方法推广：复合函数零点问题固定分层：外层方程的每个根 $u$ 单独统计内层方程 $f(x)=u$ 的根数，重根、越界（根不在值域内）要单独讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.08 恒成立问题——隐零点问题

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-21 解-三次函数极值点连线
• 2012-北京卷文-05 单-函数零点个数
• 2012-湖北卷文-03 单-函数零点个数