2011-江苏卷-20 解-数列差分递推与通项

本题导读

本题考查数列的递推关系，以及前 $n$ 项和与项的关系。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 设 $M$ 为部分正整数组成的集合，数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=1$，前 $n$ 项和为 $S_n$.已知对任意整数 $k\in M$，当整数 $n>k$ 时，$S_{n+k}+S_{n-k}=2(S_n+S_k)$ 都成立.

(1) 设 $M=\{1\}$，$a_2=2$，求 $a_5$ 的值；

(2) 设 $M=\{3,4\}$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 递推式相邻相减得 $a_{n+1}-a_n=2$
2. 步骤2：(2) 对 $k=3,4$ 的递推式错位相减
3. 步骤3：证得 $\{a_n\}$（$n⩾2$）成等差
4. 步骤4：再由 $k^{2}d=2S_k$ 定出 $d$

✅【答案】

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(1) $a_5=8$

(2) $a_n=2n-1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $M=\{1\}$ 时，对任意 $n⩾2$，$S_{n+1}+S_{n-1}=2(S_n+S_1)$，即

$S_{n+1}-2S_n+S_{n-1}=2S_1=2$。

而 $S_{n+1}-2S_n+S_{n-1}=(S_{n+1}-S_n)-(S_n-S_{n-1})=a_{n+1}-a_n$，故 $a_{n+1}-a_n=2$（$n⩾2$）。

又 $a_2=2$，所以 $a_n=2+2(n-2)=2n-2$（$n⩾2$），从而 $a_5=8$。

（2）对固定的 $k\in \{3,4\}$，分别写出下标为 $n$ 与 $n+1$ 的两个等式并相减，得

$a_{n+k+1}+a_{n-k+1}=2a_{n+1}$。

令 $j=n+1$，则

$a_{j+3}+a_{j-3}=2a_j$（$j⩾5$），

$a_{j+4}+a_{j-4}=2a_j$（$j⩾6$）。

当 $j⩾8$ 时，在第一式中分别取下标 $j+3$ 与 $j-3$，得 $a_{j+6}+a_j=2a_{j+3}$ 与 $a_j+a_{j-6}=2a_{j-3}$，两式相加并利用 $a_{j+3}+a_{j-3}=2a_j$，得

$a_{j+6}+a_{j-6}=2a_j$。

在第二式中分别取下标 $j+2$ 与 $j-2$，同理相加得 $a_{j+6}+a_{j-6}=a_{j+2}+a_{j-2}$。因此

$2a_j=a_{j+2}+a_{j-2}$（$j⩾8$）。

当 $j⩾9$ 时，上式在 $j-1$，$j+1$ 处成立，即 $a_{j+1}+a_{j-3}=2a_{j-1}$ 与 $a_{j+3}+a_{j-1}=2a_{j+1}$，这说明 $a_{j-3},a_{j-1},a_{j+1},a_{j+3}$ 成等差数列；又 $a_{j+3}+a_{j-3}=2a_j$，所以 $2a_j=a_{j+1}+a_{j-1}$，即 $a_{j+1}-a_j=a_j-a_{j-1}$。记这个公差为 $d$，则 $a_{j+1}-a_j=d$ 对所有 $j⩾9$ 成立。

对 $3⩽m⩽8$，在 $a_{j+6}+a_{j-6}=2a_j$ 中分别取 $j=m+6$ 与 $j=m+7$ 并相减，得

$2(a_{m+7}-a_{m+6})=(a_{m+1}-a_m)+(a_{m+13}-a_{m+12})$，

其中后两个差都等于 $d$，故 $a_{m+1}-a_m=d$。对 $m=2$，取 $j=8$，得 $2(a_9-a_8)=(a_3-a_2)+(a_{15}-a_{14})$，两端已知为 $d$，故 $a_3-a_2=d$。因此

$a_{n+1}-a_n=d$ 对所有 $n⩾2$ 成立。

取充分大的 $n$，把题设等式改写为 $(S_{n+k}-S_n)-(S_n-S_{n-k})=2S_k$。左边两组各含 $k$ 项，且对应项相差 $kd$，所以 $k^{2}d=2S_k$。

分别取 $k=3$，$k=4$，并用 $a_1=1$，$a_3=a_2+d$，$a_4=a_2+2d$，得

$9d=2S_3=2(1+2a_2+d)$，

$16d=2S_4=2(1+3a_2+3d)$。

即 $4a_2=7d-2$ 与 $6a_2=10d-2$，消去 $a_2$ 得 $d=2$，进而 $a_2=3$。因此

$a_n=1+(n-1)d=2n-1$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和式递推与项式递推的互化；递推式的错位相减；等差数列的判定与通项

核心方法：相邻下标递推式相减把和式条件化为项式条件；用两组步长的相容性锁定公差，再解方程组定出首几项

避坑指南：第（1）问求的是项 $a_5$ 而不是和 $S_5$；第（2）问由 $j⩾8$、$j⩾9$ 的结论推广到全体 $n⩾2$ 时，必须补上 $3⩽m⩽8$ 与 $m=2$ 的过渡验证，跳步会被认定证明不完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列新定义递推压轴题，与 2012 年江苏卷第 20 题、2013 年江苏卷第 23 题、2014 年江苏卷第 20 题同族。

结论推广：若 $f$ 对两个互质步长 $p,q$ 满足平行四边形型恒等式 $f(n+k)+f(n-k)=2f(n)+2f(k)$ 且 $f(1)=1$ 型初值给定，则 $f(n)$ 为 $n$ 的二次多项式，其一阶差分成等差数列（本题即柯西二次方程的离散版本）。

方法推广：和式递推题的第一反应是”相邻相减化项式”；多步长条件则用”同一等式在两个下标处作差”制造相容方程，最后用 $k^{2}d=2S_k$ 这类整体恒等式收口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-20 解-数列递推与等比存在性
• 2013-江苏卷-23 解-数列的综合应用
• 2014-江苏卷-20 解-新定义数列