2014-江苏卷-20 解-新定义数列

本题导读

本题通过新定义“H 数列”（满足 Sn = am）考查数列的深层逻辑。题目由易到难，从具体的指数序列验证，到等差数列的参数求解，最后要求进行抽象的数列拆分构造，具有极高的综合性和选拔性。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.若对任意的正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $S_n=a_m$，则称 $\{a_n\}$ 是“H 数列”.

(1) 若数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=2^n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)，证明：$\{a_n\}$ 是“H 数列”；

(2) 设 $\{a_n\}$ 是等差数列，其首项 $a_1=1$，公差 $d<0$.若 $\{a_n\}$ 是“H 数列”，求 $d$ 的值；

(3) 证明：对任意的等差数列 $\{a_n\}$，总存在两个“H 数列” $\{b_n\}$ 和 $\{c_n\}$，使得 $a_n=b_n+c_n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) 成立.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（验证）：由 $S_n$ 求出 $a_n$，观察 $S_n$ 是否落在 $\{a_n\}$ 的值域内。关键在于处理 $n=1$ 的特殊情况。
2. 第二问（方程）：利用等差数列求和公式与通项公式建立等式 $S_n=a_m$。由于 $d<0$ 且 $m$ 必须为正整数，通过取 $n=2$ 这一特殊情况缩小 $d$ 的范围，进而锁定 $d$ 的值。
3. 第三问（构造）：这是一个存在性证明。核心技巧是将原数列 $a_n=a_1+(n-1)d$ 拆解，构造出的 $b_n$ 和 $c_n$ 需满足其前 $n$ 项和公式能被其通项公式的形式“整除”或匹配，从而保证 $m$ 始终为正整数。

✅【答案】

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检验

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$； 当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=2^1=2$。 综上可得通项公式：$a_n=\{\begin{array}{ll}2,& n=1\\ 2^{n-1},& n\ge 2\end{array}$。 对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$S_n=2^n$。 取 $m=n+1$，则 $a_m=a_{n+1}=2^{(n+1)-1}=2^n=S_n$。 由于 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，则 $m=n+1$ 必为大于 1 的正整数。 因此，对任意 $n$，总存在正整数 $m$ 满足 $S_n=a_m$，故 $\{a_n\}$ 是“H 数列”。

(2) 解： 由题意，$a_n=1+(n-1)d$，$S_n=n+\frac{n(n-1)}{2}d$。 若 $\{a_n\}$ 是“H 数列”，则对于 $n=2$，$S_2=2+d$。 必存在正整数 $m$ 使得 $S_2=a_m$，即 $2+d=1+(m-1)d$。 移项得：$1=(m-2)d$。 因为 $d<0$，所以 $m-2$ 必须是负整数。 由于 $m$ 是正整数，则 $m-2$ 只能取 $-1$（即 $m=1$）。 此时 $1=-d$，解得 $d=-1$。 检验：当 $d=-1$ 时，$a_n=2-n$，$S_n=\frac{n(3-n)}{2}$。 令 $S_n=a_m⟹\frac{3n-n^2}{2}=2-m⟹m=\frac{n^2-3n+4}{2}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}+1$。 因为 $(n-1)(n-2)$ 必为偶数，所以 $m$ 恒为正整数。 故 $d=-1$。

(3) 证明： 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 构造数列 $\{b_n\}$：其首项 $b_1=a_1$，公差 $d_b=-a_1$。 则 $b_n=a_1+(n-1)(-a_1)=(2-n)a_1$。 由第(2)问的检验可知，$\{b_n\}$ 是“H 数列”。 构造数列 $\{c_n\}$：其首项 $c_1=0$，公差 $d_c=a_1+d$。 则 $c_n=(n-1)(a_1+d)$。 此时 $b_n+c_n=(2-n)a_1+(n-1)a_1+(n-1)d=a_1+(n-1)d=a_n$。 下面证明 $\{c_n\}$ 也是“H 数列”： $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $R_n=\frac{n(n-1)}{2}(a_1+d)$。 若 $a_1+d=0$，则 $c_n=0,R_n=0$，满足 $R_n=c_m$（$m$ 可取任意正整数）。 若 $a_1+d\ne 0$，令 $R_n=c_m⟹\frac{n(n-1)}{2}(a_1+d)=(m-1)(a_1+d)$。 解得 $m=\frac{n(n-1)}{2}+1$。 可知对于任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$m$ 均为正整数。 故 $\{c_n\}$ 也是“H 数列”。 综上所述，对任意等差数列，结论成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义数列的验证、求解与构造

2. 核心方法：取 $n=2$ 特殊值缩小参数范围，再构造拆分证明存在性

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列求和公式与存在性证明

2. 结论推广: 任意等差数列可拆分为两个”H 数列”之和。

3. 方法推广: 新定义数列题可先特殊值试探再一般化证明

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-20 解-数列新定义
• 2023-新高考I卷-20 解-数列
• 2014-福建卷文-17 解-数列