2011-江西卷文-15 填-绝对值差不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式，以及绝对值的几何意义。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 对于 $x\in \mathbf{R}$，不等式 $|x+10|-|x-2|⩾8$ 的解集为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$|x+10|-|x-2|$ 表示 $x$ 到 $-10$ 与到 $2$ 的距离之差
2. 步骤2：按分段或几何意义解

✅【答案】

点击查看答案

$[0,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

$|x+10|$ 是 $x$ 到 $-10$ 的距离，$|x-2|$ 是 $x$ 到 $2$ 的距离，左边是”距离差”。

分段解：

$x⩾2$：左边 $=(x+10)-(x-2)=12⩾8$，恒成立；

$-10⩽x<2$：左边 $=(x+10)-(2-x)=2x+8⩾8$，得 $x⩾0$，即 $0⩽x<2$；

$x<-10$：左边 $=-(x+10)-(2-x)=-12⩾8$，不成立。

综上，解集为 $[0,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值的分段讨论；距离差的单调结构

核心方法："$|x-a|-|x-b|$"按零点 $a$，$b$ 分三段去绝对值；右侧段差恒为常数 $|a-b|$

避坑指南：$x⩾2$ 时左边恒为 $12$，整段都满足——别只在端点验证就写单点或闭区间 $[2,\cdot ]$ 以外的有限解；$x<-10$ 段左边恒为 $-12$，方向反了会多出解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值不等式题与 2012-天津卷文-09、2013-大纲卷文-04、2011-新课标卷文-24 同族。

结论推广：推广：$|x-a|-|x-b|$ 在 $x⩾\max (a,b)$ 时恒为 $|a-b|$，在 $x⩽\min (a,b)$ 时恒为 $-|a-b|$，中间段是斜率为 $\pm 2$ 的一次函数——整个函数形如”平台—斜坡—平台”，与常数比较的解集端点由斜坡段的方程直接给出。

方法推广：绝对值差不等式：先写两端平台值（$\pm |a-b|$），平台若已满足/不满足可整段判定，再单独解中间斜坡段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合
• 2013-大纲卷文-04 单-绝对值不等式
• 2011-新课标卷文-24 解-绝对值不等式