2010-江西卷文-05 单-绝对值不等式解集

本题导读

考查绝对值不等式。$x⩾2$ 时无解；$x<2$ 时 $|x-2|>0>x-2$ 恒成立，解集 $(-\infty ,2)$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 不等式 $|x-2|>x-2$ 的解集是()

A. $(-\infty ,2)$　　　　B. $(-\infty ,+\infty )$　　　　C. $(2,+\infty )$　　　　D. $(-\infty ,2)\cup (2,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 当 $x⩾2$：$|x-2|=x-2$，不等式为 $x-2>x-2$，不成立。
2. 当 $x<2$：$|x-2|=2-x>0$，而 $x-2<0$，正数大于负数恒成立。
3. 解集为 $x<2$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

当 $x⩾2$ 时，$|x-2|=x-2$，不等式化为 $x-2>x-2$，不成立，此段无解. 当 $x<2$ 时，$|x-2|=2-x>0$，而 $x-2<0$，正数大于负数恒成立，此段全部满足. 故解集为 $\{x\mid x<2\}=(-\infty ,2)$，选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式的分类去绝对值

核心方法：按 $x$ 与 $2$ 的大小分两段，或用”正数大于负数”直接判断

避坑指南：$x<2$ 段左边 $2-x>0$、右边 $x-2<0$，恒成立，无需解不等式；$x=2$ 时两边都为 $0$，不满足严格大于，端点舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$|x-a|>x-a$ 型有通解：其解集即 $x<a$，与”绝对值非负”的结构直接绑定。

结论推广：一般地 $|u|>u⟺u<0$，$|u|⩾u$ 恒成立，两条小结论可秒掉一类题。

方法推广：代值检验（如 $x=0$，$x=3$）是选择题验证解集端点的低成本手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-03 单-分式绝对值不等式
• 2011-江西卷文-15 填-绝对值差不等式
• 2011-新课标卷文-24 解-绝对值不等式
• 2011-陕西卷文-06 单-绝对值与余弦方程根