2011-浙江卷理-06 单-两角和差

本题导读

本题考查三角函数的同角关系与诱导公式，以及两角差的余弦公式。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 若 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，$-\frac{\pi }{2}<\beta <0$，$\cos \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{1}{3}$，$\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{\beta }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则 $\cos \left(\alpha +\frac{\beta }{2}\right)=$ ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　B. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　C. $\frac{5\sqrt{3}}{9}$　　　　　　D. $-\frac{\sqrt{6}}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察目标角 $\alpha +\frac{\beta }{2}$ 与已知角的关系：$\alpha +\frac{\beta }{2}=\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)-\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\beta }{2}\right)$。
2. 根据已知角的范围确定各自的正弦值。
3. 代入两角差的余弦公式求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 ${\theta }_1=\frac{\pi }{4}+\alpha$，${\theta }_2=\frac{\pi }{4}-\frac{\beta }{2}$，则 $\alpha +\frac{\beta }{2}={\theta }_1-{\theta }_2$. 由 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ 知 $\frac{\pi }{4}<{\theta }_1<\frac{3\pi }{4}$，故 $\sin {\theta }_1=\sqrt{1-{\cos }^2{\theta }_1}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. 由 $-\frac{\pi }{2}<\beta <0$ 知 $0<-\frac{\beta }{2}<\frac{\pi }{4}$，故 $\frac{\pi }{4}<{\theta }_2<\frac{\pi }{2}$，故 $\sin {\theta }_2=\sqrt{1-{\cos }^2{\theta }_2}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. 根据两角差的余弦公式： $\cos \left(\alpha +\frac{\beta }{2}\right)=\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)=\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2+\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2$ 代入数据： $\cos \left(\alpha +\frac{\beta }{2}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{9}+\frac{4\sqrt{3}}{9}=\frac{5\sqrt{3}}{9}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三角函数符号判定、同角平方关系、两角差余弦公式。
• 核心方法：整体代换法（将复杂角设为整体）。
• 避坑指南：开方时必须结合角的范围准确判定正弦值的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考三角函数求值经典题型。
• 结论推广：灵活利用已知角的加减构造目标角是三角恒等变换的核心技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1983-全国卷理-04
• 1989-全国卷理-04 单-反三角函数求值
• 1991-全国卷理-05