2011-浙江卷理-10 单-多项式根

本题导读

本题考查多项式函数的根与集合元素个数，以及互为倒数根的映射关系。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 设 $a,b,c$ 为实数，$f(x)=(x+a)(x^2+bx+c)$，$g(x)=(ax+1)(c{x}^2+bx+1)$. 记集合 $S=\{x\mid f(x)=0,x\in \mathbf{R}\}$，$T=\{x\mid g(x)=0,x\in \mathbf{R}\}$，若 $|S|,|T|$ 分别为集合 $S,T$ 的元素个数，则下列结论不可能的是 ()

A. $|S|=1$ 且 $|T|=0$　　　　　　　　　B. $|S|=1$ 且 $|T|=1$

C. $|S|=2$ 且 $|T|=2$　　　　　　　　　D. $|S|=2$ 且 $|T|=3$

🔍【思路分析】

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1. 观察 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的解析式，当时 $x\ne 0$ 时，探求 $g(x)$ 与 $f\left(\frac{1}{x}\right)$ 的内在联系。
2. 证明对于任意 $x\ne 0$，有 $g(x)=x^{3}f\left(\frac{1}{x}\right)$，从而得出 $g(x)=0$ 的非零根与 $f(x)=0$ 的非零根互为倒数。
3. 注意 $0$ 不是 $g(x)$ 的根（因为 $g(0)=1$）。
4. 对各选项进行举例或理论矛盾性验证，得出不可能的结论。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

将 $g(x)$ 展开变形： $g(x)=(ax+1)(c{x}^2+bx+1)=ac{x}^3+(ab+c)x^2+(a+b)x+1$ 对比 $f(x)$ 展开式： $f(x)=(x+a)(x^2+bx+c)=x^3+(a+b)x^2+(ab+c)x+ac$ 当 $x\ne 0$ 时，显然有： $g(x)=x^{3}f\left(\frac{1}{x}\right)$ 因此：

1. $x_0$ ($x_0\ne 0$) 是 $g(x)=0$ 的根 $⟺\frac{1}{x_0}$ 是 $f(x)=0$ 的根。
2. $0$ 永远不是 $g(x)$ 的根（因为 $g(0)=1$），即 $0\notin T$。
3. 若 $0\in S$，则 $f(0)=ac=0$，此时 $g(x)$ 的最高次项系数为 $0$，次数降低。 逐一检验选项：

• 对于 (A) $|S|=1$ 且 $|T|=0$：可取 $a=0,b=0,c=0$，则 $f(x)=x^3$（$|S|=1$），$g(x)=1$（$|T|=0$），可能；
• 对于 (B) $|S|=1$ 且 $|T|=1$：可取 $a=0,b=1,c=0$，则 $f(x)=x^3$（$|S|=1$），$g(x)=x+1$（$|T|=1$），可能；
• 对于 (C) $|S|=2$ 且 $|T|=2$：可取使得 $f(x)$ 有两个非零实根，其倒数也对应 $g(x)$ 的两个非零实根，可能；
• 对于 (D) $|S|=2$ 且 $|T|=3$：若 $|T|=3$，说明 $g(x)$ 有 3 个不同的实根，全是非零根。由根的倒数对应关系，此时 $f(x)$ 也必然有对应的 3 个不同的非零实根，从而 $|S|$ 必须为 3，这与 $|S|=2$ 矛盾。 因此，结论不可能的是 (D)。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：多项式函数方程根的性质、根的倒数变换对应关系、集合元素个数判定。
• 核心方法：利用函数解析式的对称与倒数代换（互为倒数根模型）。
• 避坑指南：切勿忽略 $0$ 不能作为分母及 $0$ 是否为根的边界讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考数学函数与方程板块的创新压轴题，考查高次方程根的分布。
• 结论推广：若 $g(x)=x^{n}f\left(\frac{1}{x}\right)$，则方程 $f(x)=0$ 与 $g(x)=0$ 的非零实根互为倒数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-22 解-集合元素个数