2008-浙江卷理-04 单-二项式定理

本题导读

本题考查多项式乘法展开性质、韦达定理与根与系数的关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 在 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ 的展开式中，含 $x^4$ 的项的系数是 ()

A. $-15$　　　　　　B. 85　　　　　　C. $-120$　　　　　　D. 274

🔍【思路分析】

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1. 根据多项式乘法规则， 5 个一元一次因式相乘，要得到含 $x^4$ 的项，必须从其中的 4 个因式中各取自变量 $x$，而从剩余的 1 个因式中提取常数项相乘。
2. 将所有这 5 种可能的常数项提取组合相加，即为 $x^4$ 的系数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

目标多项式由 5 个一次因式 $(x-1),(x-2),(x-3),(x-4),(x-5)$ 组成。 若要展开得到 $x^4$ 项，相当于在构建乘积项时，有 4 个括号贡献了 $x$，留下的 1 个括号只能提供其对应的常数项。 因此，展开式中 $x^4$ 的系数就是这 5 个因式中所有常数项的代数和： $\text{系数}=(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式展开的组合本质；一元高次方程中根与系数的关系。
2. 核心方法：特征分析法。
3. 避坑指南：切不可盲目采用逐项括号展开硬算的方法，不仅浪费时间且极易在后半段的大数乘法中算错符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有深刻的高等代数一元多项式背景。对于 $n$ 次方程 ${\prod }_{i=1}^n(x-x_i)=0$，其次高项 $x^{n-1}$ 的系数根据韦达定理恒等于所有根之和的相反数，即 $-{\sum }_{i=1}^n{x}_i$。
2. 结论推广：任意多项式 $P(x)=(x+a_1)(x+a_2)\dots (x+a_n)$ 展开式中 $x^{n-1}$ 的系数恒等于 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i$；最低次常数项恒等于 ${\prod }_{i=1}^n{a}_i$。

🔗【关联脉络】

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A

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷理-10 单-多项式根
• 2013-浙江卷文-16 填-多项式恒成立
• 1955-全国-02 解-余数定理定多项式系数