2011-浙江卷理-16 填-二次函数最值

本题导读

本题考查二次齐次式与函数最值，以及判别式法求最值。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 设 $x,y$ 为实数，若 $4x^2+y^2+xy=1$，则 $2x+y$ 的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $2x+y=k$，则 $y=k-2x$。
2. 将其代入已知条件 $4x^2+y^2+xy=1$ 中，得到关于 $x$ 的一元二次方程。
3. 利用实数 $x$ 存在性，令判别式 $\Delta \ge 0$，从而求出参数 $k$ 的取值范围及最大值。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{2\sqrt{10}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $2x+y=k⟹y=k-2x$. 代入方程 $4x^2+y^2+xy=1$ 中： $4x^2+(k-2x{)}^2+x(k-2x)=1$ 展开并合并同类项： $4x^2+k^2-4kx+4x^2+kx-2x^2=1⟹6x^2-3kx+(k^2-1)=0$ 因为 $x$ 为实数，所以关于 $x$ 的一元二次方程有实数根，其判别式 $\Delta \ge 0$： $\Delta =(-3k{)}^2-4\cdot 6\cdot (k^2-1)=9k^2-24k^2+24=24-15k^2\ge 0$ 解得： $15k^2\le 24⟹k^2\le \frac{24}{15}=\frac{8}{5}⟹-\frac{2\sqrt{10}}{5}\le k\le \frac{2\sqrt{10}}{5}$ 因此，$2x+y$ 的最大值为 $\frac{2\sqrt{10}}{5}$. 故答案为：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：一元二次方程实根条件、判别式法求代数式最值。
• 核心方法：代换消元转化为一元二次方程 $\Delta \ge 0$ 求解。
• 避坑指南：判别式法求最值时必须确保等号能够取到（即存在对应的实数解）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考代数最值与圆锥曲线/不等式交汇的经典考法。
• 结论推广：形如 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2=D$ 的二次齐次方程求线性代数式最值，均可采用换元或判别式法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-重庆卷理-13 填-二次不变量恒成立问题
• 2008-安徽卷文-09 单-对勾函数最值
• 2012-湖南卷文-22 解-导数恒成立与中值定理