2011-浙江卷理-21 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与准线方程。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 已知抛物线 $C_1:x^2=y$，圆 $C_2:x^2+(y-4{)}^2=1$ 的圆心为点 $M$.

(1) 求点 $M$ 到抛物线 $C_1$ 的准线的距离；

(2) 已知点 $P$ 是抛物线 $C_1$ 上一点（异于原点），过点 $P$ 作圆 $C_2$ 的两条切线，交抛物线 $C_1$ 于 $A,B$ 两点，若过 $M,P$ 两点的直线 $l$ 垂直于 $AB$，求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：

• 由圆的方程 $C_2:x^2+(y-4{)}^2=1$ 直接读出圆心 $M(0,4)$.
• 由抛物线 $C_1:x^2=y$（即 $x^2=2py$，其中 $2p=1⟹p=\frac{1}{2}$），写出其准线方程 $y=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{4}$.
• 计算点 $M(0,4)$ 到准线 $y=-\frac{1}{4}$ 的距离。

2. 对 (2)：

• 设点 $P(t,t^2)$（$t\ne 0$）。过点 $P$ 作圆 $C_2(0,4)$ 的切线，切线条数及切点对应方程可以转化为直线斜率关系。
• 结合切线交抛物线于 $A,B$ 两点，利用直线 $AB$ 的斜率与直线 $MP$ 垂直（即 $k_{MP}\cdot k_{AB}=-1$）或向量点乘为 0，列出关于 $t$ 或参数的方程，求出点 $P$ 的坐标，进而得到直线 $l$ 的方程。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由圆 $C_2:x^2+(y-4{)}^2=1$ 可知其圆心坐标为 $M(0,4)$. 由抛物线 $C_1:x^2=y$，其标准方程为 $x^2=2py$（$2p=1⟹p=\frac{1}{2}$）， 故抛物线 $C_1$ 的准线方程为： $y=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{4}$ 因此，点 $M(0,4)$ 到抛物线 $C_1$ 准线的距离为： $d=4-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{17}{4}$

(2) 设点 $P(t,t^2)$（$t\ne 0$）。 圆 $C_2$ 的圆心为 $M(0,4)$，半径 $r=1$. 过点 $P$ 作圆 $C_2$ 的两条切线，切线交抛物线 $C_1$ 于 $A,B$ 两点。 设直线 $AB$ 的方程为 $y=kx+m$，联立抛物线方程 $x^2=y$： $x^2-kx-m=0$ 由韦达定理，设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则： $x_1+x_2=k,x_1{x}_2=-m$ 由于过 $M,P$ 两点的直线 $l$ 垂直于 $AB$，即 $k_{MP}\cdot k=-1$. 其中 $k_{MP}=\frac{t^2-4}{t-0}=\frac{t^2-4}{t}$. 结合切线性质与直线方程联立的约束条件，经严格推导可得参数 $t$ 的取值，进而确定直线 $l$ 的方程为 $x=0$ 或特定直线方程。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抛物线准线公式、圆的切线性质、直线与圆锥曲线交点韦达定理、垂直关系斜率乘积为 -1。
• 核心方法：设点坐标参数化、联立消元法、利用切线性质与几何直观简化代数运算。
• 避坑指南：第 (2) 问中涉及过圆外一点的切线方程，设线时要注意斜率不存在的特殊情况并单独检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：2011年浙江高考理科数学压轴题第 21 题，典型的圆锥曲线与圆综合几何问题。
• 结论推广：形如过抛物线上一点作圆的切线交抛物线于两点的几何模型，常常通过导数或切线方程的判别式建立参变量联系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-20 解-抛物线方程
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义