2013-广东卷理-20 解-抛物线方程

本题导读

本题考查抛物线。核心在于点到直线距离公式、导数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，其焦点 $F(0,c)$ ($c>0$) 到直线 $l:x-y-2=0$ 的距离为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.设 $P$ 为直线 $l$ 上的点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA,PB$，其中 $A,B$ 为切点.

(1)求抛物线 $C$ 的方程；

(2)当点 $P(x_0,y_0)$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 $AB$ 的方程；

(3)当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时，求 $|AF|\cdot |BF|$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求抛物线方程）： 由焦点坐标 $F(0,c)$ 及点到直线距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 建立关于 $c$ 的方程，求得 $c$ 后根据焦点位置写出标准方程。
2. 第二问（切点弦方程）： - 方法一（导数法）：设切点坐标，利用导数求切线斜率，写出两条切线方程。因点 $P$ 在两条切线上，代入点 $P$ 坐标，观察结构发现切点 $A,B$ 的坐标均满足同一个线性方程，该方程即为 $AB$ 的方程。
   • 方法二（结论法）：对于 $x^2=2py$，外一点 $(x_0,y_0)$ 的切点弦方程为 $x_{0}x=p(y+y_0)$。
3. 第三问（求最值）：
   • 几何转化：利用抛物线定义，焦半径 $|AF|=y_1+c$，$|BF|=y_2+c$。
   • 代数表示：将 $|AF|\cdot |BF|$ 表示为关于切点纵坐标 $y_1,y_2$ 的式子，再结合第二问中切点坐标与点 $P$ 坐标的关系（韦达定理形式），转化为关于 $y_0$ 的二次函数。
   • 求最值：利用二次函数的对称轴及开口方向求得最小值。

✅【答案】

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$x^2=4y$；$y=\frac{y_0+2}{2}x-y_0$；$\frac{9}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 焦点 $F(0,c)$ 到直线 $l:x-y-2=0$ 的距离为： $d=\frac{|0-c-2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{c+2}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 解得 $c+2=3⟹c=1$。 因为焦点在 $y$ 轴正半轴且 $c=\frac{p}{2}=1$，所以 $p=2$。 故抛物线 $C$ 的方程为 $x^2=4y$。

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）得 $y=\frac{1}{4}{x}^2$，求导得 $y^{\prime }=\frac{1}{2}x$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。则切线 $PA$ 的斜率为 $\frac{1}{2}{x}_1$，方程为： $y-y_1=\frac{1}{2}{x}_1(x-x_1)⟹y-\frac{1}{4}{x}_1^2=\frac{1}{2}{x}_{1}x-\frac{1}{2}{x}_1^2⟹y=\frac{1}{2}{x}_{1}x-\frac{1}{4}{x}_1^2$ 同理，切线 $PB$ 的方程为 $y=\frac{1}{2}{x}_{2}x-\frac{1}{4}{x}_2^2$。 因为点 $P(x_0,y_0)$ 在这两条切线上，所以： $\{\begin{array}{l}{y}_0=\frac{1}{2}{x}_1{x}_0-\frac{1}{4}{x}_1^2\\ y_0=\frac{1}{2}{x}_2{x}_0-\frac{1}{4}{x}_2^2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_1^2-2x_0{x}_1+4y_0=0\\ x_2^2-2x_0{x}_2+4y_0=0\end{array}$ 说明 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-2x_{0}x+4y_0=0$ 的两根。 由韦达定理：$x_1+x_2=2x_0$，$x_1{x}_2=4y_0$。 直线 $AB$ 的斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{\frac{1}{4}(x_1^2-x_2^2)}{x_1-x_2}=\frac{x_1+x_2}{4}=\frac{2x_0}{4}=\frac{x_0}{2}$。 直线 $AB$ 的方程为 $y-y_1=\frac{x_0}{2}(x-x_1)$，整理得 $y=\frac{x_0}{2}x-y_0$。 又因为点 $P$ 在直线 $l$ 上，即 $x_0-y_0-2=0⟹x_0=y_0+2$。 故直线 $AB$ 的方程为 $y=\frac{y_0+2}{2}x-y_0$。

（Ⅲ）解： 由抛物线定义可知：$|AF|=y_1+1$，$|BF|=y_2+1$。 $|AF|\cdot |BF|=(y_1+1)(y_2+1)=y_1{y}_2+(y_1+y_2)+1$ $|AF|\cdot |BF|=\frac{x_1^2}{4}\cdot \frac{x_2^2}{4}+(\frac{x_1^2}{4}+\frac{x_2^2}{4})+1=\frac{(x_1{x}_2{)}^2}{16}+\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{4}+1$ 由（Ⅱ）中的韦达定理代入： $|AF|\cdot |BF|=\frac{(4y_0{)}^2}{16}+\frac{(2x_0{)}^2-8y_0}{4}+1=y_0^2+x_0^2-2y_0+1$ 将 $x_0=y_0+2$ 代入上式： $|AF|\cdot |BF|=y_0^2+(y_0+2{)}^2-2y_0+1=2y_0^2+2y_0+5$ 这是一个关于 $y_0$ 的二次函数，开口向上，对称轴为 $y_0=-\frac{2}{2\times 2}=-\frac{1}{2}$。 当 $y_0=-\frac{1}{2}$ 时，取得最小值： $2(-\frac{1}{2}{)}^2+2(-\frac{1}{2})+5=\frac{1}{2}-1+5=\frac{9}{2}$

故 $|AF|\cdot |BF|$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切点弦方程的推导是解析几何中的高频考点。需掌握“点在线上”与“方程同构”的转化思想。 5. 核心技巧：“定义优先”。在计算焦半径相关的乘积或和时，利用 $y+c$ 代替复杂的距离公式能极大简化运算。

核心方法：见详细解析

避坑指南：计算 $|AF|\cdot |BF|$ 时，注意 $x_1{x}_2$ 与 $x_1+x_2$ 的代换不要出错，尤其是平方关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极点与极弦理论（Polar and Pole）。

结论推广：对于抛物线 $x^2=2py$，若点 $P$ 在直线 $Ax+By+C=0$ 上，则切点弦 $AB$ 恒过定点。

方法推广：利用导数求切线斜率是处理圆锥曲线非对称性问题的利器。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线