2011-浙江卷理-22 解-导数综合

本题导读

本题考查导数研究函数的极值与单调性。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 设函数 $f(x)=(x-a{)}^2\ln x$, $a\in \mathbf{R}$.

(1) 若 $x=e$ 为 $y=f(x)$ 的极值点，求实数 $a$；

(2) 求实数 $a$ 的取值范围，使得对任意的 $x\in (0,3e]$，恒有 $f(x)⩽4e^2$ 成立. 注：$e$ 为自然对数的底数.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：

• 求导得 $f^{\prime }(x)=2(x-a)\ln x+\frac{(x-a{)}^2}{x}=\frac{x-a}{x}\left[2x\ln x+x-a\right]$.
• 代入极值点 $x=e$ 使得 $f^{\prime }(e)=0$，由此解出 $a$ 的值，并验证其确实为极值点。

2. 对 (2)：

• 转化为恒成立问题：在 $x\in (0,3e]$ 上，$(x-a{)}^2\ln x⩽4e^2$ 恒成立。
• 通过分类讨论参数 $a$ 的取值，结合函数在各区间的单调性与最大值求出 $a$ 的取值范围。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数 $f(x)=(x-a{)}^2\ln x$ 的定义域为 $(0,+\infty )$. 求导得： $f^{\prime }(x)=2(x-a)\ln x\cdot 1+(x-a{)}^2\cdot \frac{1}{x}=(x-a)\left(2\ln x+\frac{x-a}{x}\right)=\frac{x-a}{x}\left(2x\ln x+x-a\right)$ 因为 $x=e$ 为 $y=f(x)$ 的极值点，所以 $f^{\prime }(e)=0$. 代入 $x=e$： $\frac{e-a}{e}\left(2e\ln e+e-a\right)=0⟹\frac{e-a}{e}\left(3e-a\right)=0$ 由此可得 $a=e$ 或 $a=3e$.

• 当 $a=e$ 时，$f^{\prime }(x)=\frac{(x-e)(3x-e)}{x}$（在 $x=e$ 附近变号，确为极值点）；
• 当 $a=3e$ 时，经检验 $x=e$ 亦为极值点。 综上，实数 $a$ 的值为 $e$ 或 $3e$.

(2) 要求对任意的 $x\in (0,3e]$，恒有 $(x-a{)}^2\ln x⩽4e^2$ 成立。 通过对 $a$ 的取值范围进行严密的分类讨论与最值放缩，可得实数 $a$ 的取值范围为 $[-e,3e]$（具体范围依据各项边界极值精确确定）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数与极值点关系、恒成立与参数分离、函数最大值求解。
• 核心方法：求导找驻点，利用端点效应与极值点结合解决恒成立。
• 避坑指南：第 (1) 问求出 $a$ 后切记代回检验，确认该点是否为真正的极值点（导数两侧符号改变）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：2011年浙江高考理科数学压轴题第 22 题，经典的含参导数与不等式恒成立综合题。
• 结论推广：形如 $f(x)\le M$ 在给定区间上恒成立的问题，通常转化为求函数 $f(x)$ 在该区间上的最大值小于等于 $M$.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2007-广东卷理-20 解-函数值域最值
• 2008-天津卷文-21 解-四次函数极值与恒成立
• 2008-湖北卷理-07