2007-广东卷理-20 解-函数值域最值

本题导读

本题考查二次函数在指定区间上零点存在性问题。当二次项系数含有参数时，常规的二次方程判别式与区间根分布讨论极为繁琐。核心技巧在于采用“分离参数法”，将零点存在性转化为求一个新函数在给定区间上的值域问题，大幅降低降维难度。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 已知 $a$ 是实数，函数 $f(x)=2a{x}^2+2x-3-a$. 如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 零点方程化与参数判定：

• 令 $f(x)=0⟹2a{x}^2+2x-3-a=0$。
• 检查 $x$ 的边界值：若 $2x^2-1=0⟹x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，此时代入原方程知不成立。

2. 分离参数 $a$：

• 提取参数项： $a(2x^2-1)=3-2x$。
• 因为 $x\in [-1,1]$ 时， $2x^2-1$ 有可能为 0。需优先将 $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 单独抽离代入方程检验：
• 代入 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 $2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-3=0⟹\sqrt{2}=3$（矛盾，无解）。
• 同理 $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时也无解。
• 由此可安全地对全域进行分母分离： $a=\frac{3-2x}{2x^2-1}$。

3. 求新函数的值域：

• 问题转化为求 $g(x)=\frac{3-2x}{2x^2-1}$ 在 $x\in [-1,1]$ 且 $x\ne \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时的取值范围（值域）。

• 利用导数工具或者分式不等式法确定该函数各分支的单调性与最值，从而勾勒出参数 $a$ 的合法可达集合。

✅【答案】

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方程𝑓(𝑥)=0可改写为𝑎(2𝑥2−1)=3−2𝑥.当𝑥=±1√2

✍【详细解析】

Abstract

解：根据题意，函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有零点，即一元方程： $2a{x}^2+2x-3-a=0\text{在 }x\in [-1,1]\text{ 内有实数解}$

移项并提取关于参数 $a$ 的同类项： $a(2x^2-1)=3-2x\text{(1)}$

下面对①式中二次项系数 $2x^2-1$ 是否为 0 进行分类判定：

1. 当 $2x^2-1=0⟹x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时：

• 若 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$， 代入①式得 $0=3-\sqrt{2}$， 矛盾不成立；

• 若 $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$， 代入①式得 $0=3+\sqrt{2}$， 矛盾不成立。 因此， 方程①的实数解 $x$ 绝对不可能等于 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

2. 当 $2x^2-1\ne 0$ 时， 可将①式两边同除以 $(2x^2-1)$， 成功将参数 $a$ 孤立剥离： $a=\frac{3-2x}{2x^2-1}$ 由此可知， 原问题等价于求新函数 $g(x)=\frac{3-2x}{2x^2-1}$ 在集合 $x\in [-1,1]\text{ 且 }x\ne \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 上的值域。

对分式函数 $g(x)$ 展开求导以判定单调性（利用商的求导法则）： $g^{\prime }(x)=\frac{(3-2x{)}^{\prime }(2x^2-1)-(3-2x)(2x^2-1{)}^{\prime }}{(2x^2-1{)}^2}$ $g^{\prime }(x)=\frac{-2(2x^2-1)-(3-2x)(4x)}{{\left(2x^2-1\right)}^2}=\frac{-4x^2+2-12x+8x^2}{(2x^2-1{)}^2}=\frac{4x^2-12x+2}{(2x^2-1{)}^2}$ $g^{\prime }(x)=\frac{2(2x^2-6x+1)}{(2x^2-1{)}^2}$

令 $g^{\prime }(x)=0⟹2x^2-6x+1=0$，解得两个驻点： $x=\frac{6\pm \sqrt{(-6{)}^2-4\times 2\times 1}}{4}=\frac{6\pm \sqrt{28}}{4}=\frac{3\pm \sqrt{7}}{2}$ 因为 $\sqrt{7}\approx 2.65$：

• $x_1=\frac{3-\sqrt{7}}{2}\approx \frac{3-2.65}{2}=0.175\in [-1,1]$；
• $x_2=\frac{3+\sqrt{7}}{2}\approx \frac{3+2.65}{2}=2.825\notin [-1,1]$。

因此， 在整个有效考查闭区间 $x\in [-1,1]$ 内部， 仅存在唯一有效的极值驻点 $x_0=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$。 分析导函数分子二次多项式 $2x^2-6x+1$ 在 $[-1,1]$ 内的正负号变化特征：

• 当 $x\in \left[-1,\frac{3-\sqrt{7}}{2}\right)$ 时， $g^{\prime }(x)>0$， 函数 $g(x)$ 严格单调递增；
• 当 $x\in \left(\frac{3-\sqrt{7}}{2},1\right]$ 时， $g^{\prime }(x)<0$， 函数 $g(x)$ 严格单调递减。

由于在 $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 处分母为 0 属于无穷间断点， 我们计算各关键节点及边界点的函数值和趋向极限值：

• 左端点： $g(-1)=\frac{3-2(-1)}{2(-1{)}^2-1}=\frac{5}{1}=5$
• 右端点： $g(1)=\frac{3-2(1)}{2(1{)}^2-1}=\frac{1}{1}=1$
• 极大值点： $g\left(\frac{3-\sqrt{7}}{2}\right)=\frac{3-(3-\sqrt{7})}{2{\left(\frac{3-\sqrt{7}}{2}\right)}^2-1}$ 由于 $2x_0^2-1=6x_0-2$， 代入可简化求得： $g(x_0)=\frac{\sqrt{7}+3}{4}$ 并不对，直接用原方程化简： 由 $2a{x}_0^2+2x_0-3-a=0⟹a(2x_0^2-1)=3-2x_0$。 由于 $2x_0^2-6x_0+1=0⟹2x_0^2-1=6x_0-2$。 故 $g(x_0)=\frac{3-2x_0}{6x_0-2}$。将 $x_0=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$ 代入： $g(x_0)=\frac{3-(3-\sqrt{7})}{3(3-\sqrt{7})-2}=\frac{\sqrt{7}}{7-3\sqrt{7}}=\frac{1}{\sqrt{7}-3}=\frac{\sqrt{7}+3}{7-9}=-\frac{3+\sqrt{7}}{2}$

下面考查间断点两侧的无限延伸特征：

• 当 $x\to {\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{-}$ 时， $2x^2-1>0$， 分子 $3-2x>0$， 故 $g(x)\to +\infty$；
• 当 $x\to {\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{+}$ 时， $2x^2-1<0$， 故 $g(x)\to -\infty$。 由此可知， 在包含间断点 $(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的内部分支以及两侧分支中， 随着自变量掠过间断点， 函数值能无损覆盖整个 $(-\infty ,+\infty )$ 的无限全域。

, highlighting vertical asymptotes at x = ±1/√2, showing the function ranges to infinity in its branches.]

具体分段值域扫描如下：

• 在区间 $\left[-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 上， 函数自 5 单调递增至 $+\infty$， 值域为 $[5,+\infty )$；
• 在区间 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 上， 函数自 $-\infty$ 递增到极大值 $-\frac{3+\sqrt{7}}{2}$， 再递减到 $-\infty$， 值域为 $\left(-\infty ,-\frac{3+\sqrt{7}}{2}\right]$；
• 在区间 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$ 上， 函数自 $+\infty$ 递减到 1， 值域为 $[1,+\infty )$。

将三个有效分支的值域进行并集汇拢， 得到全域的覆盖可达范围： $\text{值域}=(-\infty ,-\frac{3+\sqrt{7}}{2}]\cup [1,+\infty )$

因为参数 $a$ 恰好等于该函数的值域，

所以， 实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty ,-\frac{3+\sqrt{7}}{2}\right]\cup [1,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分离参数彻底隔离转化法、导数商公式判断分式函数复杂单调性、含有无穷垂直渐近线（分母为0）时值域的全域并集处理。
2. 核心方法：参数分离法、导数工具法。
3. 避坑指南：

• 本题最容易翻车的点在于误将 $g(x)$ 当作连续函数，直接认为值域是 $[g(1),g(-1)]$。
• 必须时刻警惕：在区间 $[-1,1]$ 内， 分母存在两个致命的零点 $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。由于这两个间断点的存在， 函数图象被切割成了三段不连续的孤立曲线， 且会产生向 $\pm \infty$ 的无限喷薄。务必分段扫描并取并集， 才能保证最终的代数区间完整不漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查一元二次方程根的分布、分离参数法，是广东卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（分离参数法、构造函数单调性法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：一元二次方程根的分布、分离参数法相互关联，解答中综合运用了分离参数法、构造函数单调性法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.18 恒成立问题——参变分离法
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-19 解-导数综合
• 2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域
• 2009-大纲卷I理-21 解-圆锥曲线