2011-湖北卷理-02 单-分段函数值域

本题导读

本题考查对数函数的值域，以及反比例函数的值域。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)）

已知 $U=\{y\mid y={\log }_{2}x,x>1\}$，$P=\left\{y|y=\frac{1}{x},x>2\right\}$，则 ${\complement }_{U}P=$ ()

A. $\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$　　B. $\left(0,\frac{1}{2}\right)$　　C. $(0,+\infty )$　　D. $(-\infty ,0)\cup \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出对数函数在 $x>1$ 时的值域，确定全集 $U$。
2. 求出反比例函数在 $x>2$ 时的值域，确定集合 $P$。
3. 在全集 $U$ 内部求 $P$ 的补集 ${\complement }_{U}P$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x>1$，所以 $y={\log }_{2}x>{\log }_{2}1=0$，即 $U=(0,+\infty )$. 因为 $x>2$，所以 $0<y=\frac{1}{x}<\frac{1}{2}$，即 $P=\left(0,\frac{1}{2}\right)$. 因此 ${\complement }_{U}P=\{y\in U\mid y\notin P\}=\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$. 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对数与分式函数的值域；相对补集定义 ${\complement }_{U}P=U\setminus P$.
• 核心方法：利用单调性求值域，数轴分析求补集.
• 避坑指南：补集是在全集 $U$ 内求解，不能混淆为在全实数集 $\mathbf{R}$ 上的补集，避免误选 (D).

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源： 考查集合与映射基础概念，注重在给定的全集子空间内考查逻辑补运算。

• 结论推广： 设 $A=f(D_1)$，$B=g(D_2)$，当 $B\subseteq A$ 时，${\complement }_{A}B=\{x\in A\mid x\notin B\}$，运算范围受限于原全集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-03 单-对数函数值域
• 1989-全国卷理-15 填-反函数的定义域
• 1990-全国卷理-06 单-三角式的值域