2010-山东卷文-03 单-对数函数值域

本题导读

考查值域。$3^x>0$ 故 $3^x+1>1$，$f(x)={\log }_2(3^x+1)>{\log }_{2}1=0$，值域 $(0,+\infty )$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 函数 $f(x)={\log }_2(3^x+1)$ 的值域为()

A. $(0,+\infty )$　　　　　B. $[0,+\infty )$　　　　　C. $(1,+\infty )$　　　　　D. $[1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. $3^x>0$ 恒成立，故 $3^x+1>1$。
2. $y={\log }_{2}u$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，且 ${\log }_{2}1=0$。
3. $u=3^x+1$ 可取遍 $(1,+\infty )$，故 $f(x)$ 的值域是 $({\log }_{2}1,+\infty )=(0,+\infty )$。
4. 注意 $u>1$ 但 $u$ 可以无限接近 $1$（$x\to -\infty$），故左端点是开区间。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $3^x>0$ 对一切 $x\in \mathbf{R}$ 成立，所以 $3^x+1>1$. 而 $y={\log }_{2}u$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，且 ${\log }_{2}1=0$，故 $f(x)={\log }_2(3^x+1)>{\log }_{2}1=0.$ 又当 $x\to -\infty$ 时 $3^x\to 0$，$f(x)\to 0$；当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to +\infty$. 因此 $f(x)$ 的值域为 $(0,+\infty )$，且 $0$ 取不到. 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的值域

核心方法：由 $3^x>0$ 得 $3^x+1>1$，再利用 $y={\log }_{2}u$ 的单调性定值域

避坑指南：$3^x+1$ 严格大于 $1$ 而非大于等于 $1$，所以值域左端点是开区间 $0$ 取不到，别写成 $[0,+\infty )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复合函数值域题的核心是”内层值域决定外层定义域”。

结论推广：$3^x>0$ 恒成立，$3^x+1$ 可取遍 $(1,+\infty )$，${\log }_2$ 把 $(1,+\infty )$ 映到 $(0,+\infty )$。

方法推广：求 ${\log }_a(f(x))$ 值域，先求 $f(x)$ 的值域再作用 ${\log }_a$，注意端点开闭与单调方向。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称
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