2011-湖北卷理-05 单-正态分布

本题导读

本题考查正态分布曲线的对称性，以及连续型随机变量区间概率计算。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)）

已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(2,{\sigma }^2)$，且 $P(\xi <4)=0.8$，则 $P(0<\xi <2)=$ ()

A. 0.6　　　　　　B. 0.4　　　　　　C. 0.3　　　　　　D. 0.2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确正态分布的对称轴为直线 $x=\mu =2$。
2. 利用对称性知 $P(\xi <2)=0.5$，$P(\xi ⩾4)=1-P(\xi <4)=0.2$。
3. 利用对称区间 $P(\xi ⩽0)=P(\xi ⩾4)=0.2$，进而求出 $P(0<\xi <2)=P(\xi <2)-P(\xi ⩽0)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\xi \sim N(2,{\sigma }^2)$，所以正态曲线关于直线 $x=2$ 对称. 故 $P(\xi <2)=0.5$. 又因为 $P(\xi <4)=0.8$，所以 $P(\xi ⩾4)=1-0.8=0.2$. 由对称性可知，点 $x=0$ 与 $x=4$ 关于 $x=2$ 对称， 所以 $P(\xi ⩽0)=P(\xi ⩾4)=0.2$. 因此： $P(0<\xi <2)=P(\xi <2)-P(\xi ⩽0)=0.5-0.2=0.3$. 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正态分布对称性 $P(\xi <\mu -a)=P(\xi >\mu +a)$；总概率性质 $P(\xi <\mu )=0.5$.
• 核心方法：区间转化割补法，数形结合看对称性.
• 避坑指南：切勿把 $P(2<\xi <4)=0.3$ 直接当作两倍区间计算导致算成 $0.6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源： 源于高斯分布的概率密度函数对称性质 $\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$。

• 结论推广： 若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则对任意 $a>0$：
• $P(\mu -a<X<\mu )=P(\mu <X<\mu +a)=P(X<\mu +a)-0.5$；
• $P(\mu -a<X<\mu +a)=2P(X<\mu +a)-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

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