2009-安徽卷理-11 填-正态分布

本题导读

本题考查正态分布的密度曲线及其特点、正态分布的对称性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 若随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P(X⩽\mu )=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 明确正态分布曲线 $y=f(x)$ 的对称轴为 $x=\mu$。
2. 根据对称轴两侧区域面积各占总面积一半的几何意义直接得出结论。

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$\frac{1}{2}$ (或 0.5)

✍【详细解析】

Abstract

解：因为随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，其正态密度曲线关于直线 $x=\mu$ 对称。 根据正态曲线的性质，曲线与 $x$ 轴之间的总面积为 1，且关于对称轴平分两部分。 因此，随机变量 $X$ 落在均值 $\mu$ 左侧的概率恒为总面积的一半： $P(X⩽\mu )=\frac{1}{2}$

填空答案：$\frac{1}{2}$ (或 0.5)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正态分布的对称轴 $x=\mu$；区间总概率和为 1 的归一化性质。
2. 核心方法：图象对称分析法。
3. 避坑指南：切勿因看到含有参数 $\mu$ 和 $\sigma$ 而放弃，此题属于纯基础概念题，与标准差 $\sigma$ 的具体大小无关。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中正态分布章节介绍“正态曲线几何特征”的核心基本结论。
2. 结论推广：若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则对任意常数 $d>0$，恒有 $P(X⩽\mu -d)=P(X⩾\mu +d)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.05 正态分布

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷理-05 单-正态分布
• 2012-新课标卷理-15 填-正态分布与概率
• 2013-湖北卷理-20 解-正态分布的性质与概率计算