2011-湖北卷理-07 单-分布列

本题导读

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件与对立事件的概率。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)）

如图，用 $K$、$A_1$、$A_2$ 三类不同的元件连接成一个系统.当 $K$ 正常工作且 $A_1$、$A_2$ 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知 $K$、$A_1$、$A_2$ 正常工作的概率依次为 $0.9$、$0.8$、$0.8$，则系统正常工作的概率为 ()

A. 0.960　　　　　B. 0.864　　　　　C. 0.720　　　　　D. 0.576

🔍【思路分析】

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1. 将系统拆分为串联部分（$K$）与并联部分（$A_1,A_2$）。

2. 并联部分“至少一个正常”转化为求其对立事件（两者均不正常）。

3. 结合相互独立事件乘法公式求总概率。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

记元件 $K,A_1,A_2$ 正常工作分别为事件 $E_K,E_{A_1},E_{A_2}$，各事件相互独立。

$A_1,A_2$ 至少有一个正常工作的概率为：

$P(A)=1-P(\overline{E_{A_1}})P(\overline{E_{A_2}})=1-(1-0.8)(1-0.8)=1-0.04=0.96$。

系统正常工作需 $K$ 与并联部分同时工作，所求概率为：

$P=P(E_K)\cdot P(A)=0.9\times 0.96=0.864$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：相互独立事件概率计算。

• 核心方法：“正难则反”，并联系统优先使用对立事件简化计算。

• 避坑指南：不可漏掉 $K$ 的串联限制，注意审题是“且”还是“或”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于可靠性工程学中的系统可靠度计算（串并联网络可靠度模型）。

• 结论推广：若串联系统由 $n$ 个独立元件组成，可靠度为 $\prod P_i$；并联系统可靠度为 $1-\prod (1-P_i)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2004-广东卷理-06 单-相互独立事件的概率

• 2005-辽宁卷-20 解-相互独立事件的概率

• 2008-湖北卷文-14 填-独立事件至少一个