2008-湖北卷文-14 填-独立事件至少一个

本题导读

$P=1-(1-0.80)(1-0.90)=1-0.02=0.98$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己. 假设甲闹钟准时响的概率是 $0.80$，乙闹钟准时响的概率是 $0.90$，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是　　　.

🔍【思路分析】

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两闹钟相互独立，“至少一个准时响”的对立事件是”两个都没准时响”，概率为 $(1-0.80)\times (1-0.90)$.

✅【答案】

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$0.98$

✍【详细解析】

Abstract

设甲闹钟准时响为事件 $A$，乙闹钟准时响为事件 $B$，$A$、$B$ 相互独立. 至少有一个准时响的对立事件是 $\bar{A}\bar{B}$（两个闹钟都没准时响），$P(\bar{A}\bar{B})=P(\bar{A})P(\bar{B})=(1-0.80)\times (1-0.90)=0.02$. 故所求概率 $P=1-0.02=0.98$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件与对立事件

核心方法：“至少一个”用 $1-P(\text{全不})$

避坑指南：两闹钟独立，“都不响”的概率是乘积 $(0.2)(0.1)=0.02$，别加成 $0.3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：概率章节”独立性 + 对立事件”的标准情境题

结论推广：$P(A\cup B)=1-P(\bar{A})P(\bar{B})$（独立时）

方法推广：“至少”型概率首选对立事件；独立事件的乘法公式与互斥事件的加法公式区分清楚

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-12 填-独立事件概率
• 2011-湖北卷文-13 填-古典概型至少
• 2010-湖北卷文-13 填-条件概率
• 2007-湖北卷理-14 填-二项分布概率公式